广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理6.2第4课时组合的应用训练提升新人教版选择性必修第三册

第4课时　组合的应用

课后·训练提升

基础巩固

1.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑选5名选手参加比赛,种子选手必须在内,那么不同选法共有(　　)

A.26种 B.84种 

C.35种 D.21种

答案:C

解析:因为种子选手必须在内,所以还需从剩下的7名队员中选出3人有=35种选法.

2.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,这样的排法种数是(　　)

A.5 040 B.36 

C.18 D.20

答案:D

解析:最高的同学站中间,从余下6人中选3人在一侧只有一种站法,另3人在另一侧也只有一种站法,因此排法有=20种.

3.从乒乓球运动员男5名、女6名中选择两对男女运动员组织一场混合双打比赛,不同的组合方法有(　　)

A.种 B.种

C.种 D.种

答案:B

解析:先从5名男选手中任意选取2名,有种选法,再从6名女选手中任意选择2名与选出的男选手组合打比赛,有,即种.因此共有种.

4.某单位举办某活动时要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案的种数为(　　)

A.12 B.24 

C.36 D.48

答案:C

解析:根据题意,分两类完成:

第一类,若小张、小赵只有一人入选,则有选法=24种;

第二类,若小张、小赵都入选,则有选法=12种.

根据分类加法计数原理,共有选法12+24=36种.

故选C.

5.某地招募了20名志愿者,他们编号分别为1号,2号,…,19号,20号,如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的人在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是(　　)

A.16 B.21 C.24 D.90

答案:B

解析:分两类:

第1类,5号与14号为编号较大的一组,则另一组编号较小的有=6种选取方法.

第2类,5号与14号为编号较小的一组,则编号较大的一组有=15种选取方法.

根据分类加法计数原理,共有=6+15=21种选取方法.

6.连接正方体6个面的中心并向两个方向延长形成15条直线,从这15条直线中任取两条,则它们异面的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:从15条直线中任取两条共有=105种取法,其中是异面直线的取法有4×12÷2+4×3=36种.由古典概型的计算公式可得它们异面的概率是P=.故选C.

7.某省高考改革方案中,要求每名考生必须在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物学、思想政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选择方案有　　　　　种. 

答案:10

解析:分两类:第1类,在生物学、思想政治、历史3门中选择1门,则在物理、化学、地理中选2门,有=9种选择方案;第2类,在生物学、思想政治、历史3门中选择0门,则物理、化学、地理全选,有=1种选择方案.

根据分类加法计数原理,共有选择方案9+1=10种.

8.如图所示,该几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有　　　　　种. 

答案:12

解析:分两步:第一步,先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,有种涂法;第二步,涂三棱柱的三个侧面,有种涂法.根据分步乘法计数原理,共有=3×2×1×2=12种不同的涂法.

9.8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有　　　　　种.

答案:60

解析:分两类:第1类,一、二、三等奖,三个人获得,有=24种;

第2类,一、二、三等奖,有一个人获得2张,一个人获得1张,共有=36种.

根据分类加法计数原理,共有24+36=60种不同的获奖情况.

10.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作,有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?

解分三类:

第1类,让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作,有种选法;

第2类,让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作,有种选法;

第3类,让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作,有种选法.

根据分类加法计数原理,共有=42种不同的选法.

能力提升

1.有编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有(　　)

A.60种 B.20种 

C.10种 D.8种

答案:C

解析:在四盏熄灭的灯产生的5个空中放入三盏亮灯,即=10.

2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有(　　)

A.16种 B.36种 

C.42种 D.60种

答案:D

解析:分两类:第1类,每城不超过1个项目,有=24种;第2类,有1个城市投资2个项目,有=36种.

根据分类加法计数原理,共有24+36=60种方案.

3.全运会期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:A

解析:首先从14人中选出12人,有种方法,然后将12人平均分为3组,有种方法,然后这两步相乘,得.将三组分配下去共有种.故选A.

4.(多选题)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则(　　)

A.某学生从中选3门,共有30种选法

B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法

C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法

D.甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这6门课程时,每名教师至少教一门,且甲不教“数”,则不同的课程安排方案种数是1 440

答案:CD

解析:对于选项A,某学生从6门课程中选3门,共有=20种,故A错误;

对于选项B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排“射”“御”,共有=480种排法,故B错误;

对于选项C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,由捆绑法分析,将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有=144种排法,故C正确;

对于选项D,当甲只教一门时,不同的安排方案有=1200(种);当甲教两门时,不同的安排方案有=240(种).因此甲不教“数”的课程安排方案有1200+240=1440种.D正确.故选CD.

5.20个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为　　　　　. 

答案:120

解析:先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球,还剩17个小球,三个盒内分别至少再放入1个球,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可,共=120种方法.

6.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为　　　　　. 

答案:2

解析:设男生人数为x,则女生有(6-x)人.依题意=16,即x(x-1)(x-2)=2×3×4,因为3≤x≤6,x∈N*,所以x=4,即女生有2人.

7.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有次品为止.

(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?

(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?

解(1)分三步完成:第一步,先排前4次测试,只能取正品,有种测法;第二步,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有种测法;第三步,再排余下4件的测试位置,有种测法.根据分步乘法计数原理,共有不同测试方法=103680种.

(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,故共有不同测试方法=576种.

8.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:

(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?

(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?

(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?

解(1)分两步:第一步,首先从4名外科专家中任选2名,有种选法;第二步,再从除外科专家的6人中选取4人,有种选法.

根据分步乘法计数原理,共有=90种抽调方法.

(2)(方法一　直接法)

按选取的外科专家的人数分三类:

第1类,选2名外科专家,共有种选法;

第2类,选3名外科专家,共有种选法;

第3类,选4名外科专家,共有种选法.

根据分类加法计数原理,共有=185种抽调方法.

(方法二　间接法)

不考虑是否有外科专家,共有种选法,考虑选取1名外科专家参加,有种选法,没有外科专家参加,有种选法,因此共有=185种抽调方法.

(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,分三类解答:

第1类,没有外科专家参加,有种选法;

第2类,有1名外科专家参加,有种选法;

第3类,有2名外科专家参加,有种选法.

根据分类加法计数原理,共有=115种抽调方法.