广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理过关检测A卷新人教版选择性必修第三册

第六章过关检测(A卷)

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.某省实行“3+1+2”新高考模式,语文、数学、英语三科必选,物理、历史两科中选择一科,思想政治、地理、化学、生物学四科中选择两科,则学生不同的选科方案共有(　　)

A.6种 B.12种 

C.18种 D.24种

答案:B

解析:根据题意,分两步完成:

第一步,先在物理、历史两科中选择一科,有2种选法;

第二步,再从思想政治、地理、化学、生物学四科中选择两科,有=6种选法.

综上所述,根据分步乘法计数原理共有2×6=12种选法,故选B.

2.若=18,则m等于(　　)

A.9 B.8 

C.7 D.6

答案:D

解析:由题意,得=m(m-1)(m-2)(m-3)=,

又m≥4,整理得m-3=3,解得m=6.

3.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为(　　)

A.29 B.49 

C.39 D.59

答案:B

解析:由于a0,a2,a4,a6,a8为正,a1,a3,a5,a7,a9为负,故令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=|a0|+|a1|+…+|a9|,故选B.

4.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210等于(　　)

A.32 B.-32 

C.1 024 D.512

答案:A

解析:由二项式定理及a=2-,得a10-2a9+22a8-…+210=(-2)0a10+(-2)1a9+(-2)2a8+…+(-2)10=(a-2)10=(-)10=25=32.

5.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配方案共有(　　)

A.种 B.种 

C.种 D.种

答案:C

解析:先将4名水暖工选出2人分成一组,再和其他2名水暖工构成三组,将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有种方案.

6.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方案有(　　)

A.72种 B.96种

C.108种 D.120种

答案:B

解析:分步完成:第一步,涂区域1,有4种方法;第二步,涂区域2,有3种方法;第三步,涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步,涂区域3,分两类,第一类,3与1同色,则区域5涂第四种颜色,第二类,区域3与1不同色,则涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.

因此不同的涂色方案有4×3×2×(1×1+1×3)=96种.故选B.

7.(1+x)6的展开式中x的系数为(　　)

A.6 B.15 

C.18 D.21

答案:D

解析:∵(1+x)6的展开式中x的系数为1×+1×=6+15=21.故选D.

8.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为(　　)

A.96 B.114 

C.128 D.136

答案:B

解析:先用隔板法在中间17个空中放上2个隔板有=136种方法,再减去名额相等的情况:(1,1,16),(2,2,14),(3,3,12),(4,4,10),(5,5,8),(6,6,6),(7,7,4),(8,8,2),共有7+1=22种方法,所以不同的分配方法种数为136-22=114.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.现安排高二年级A,B,C 3名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　)

A.所有可能的方法有34种

B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种

C.若同学A必须去甲工厂,则不同的安排方法有16种

D.若3名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种

答案:BCD

解析:根据题意,依次分析选项.

对于A,每人有4种选择,则3人一共有4×4×4=43种方法,A错误.

对于B,分三种情况讨论:①若有1名同学去甲工厂,则去甲工厂的同学情况为,另外2名同学的安排方法有3×3=9种,此种情况共有×9=27种;

②若有2名同学去甲工厂,则同学选派情况为,另外1名同学的排法有3种,此种情况共有×3=9种;

③若3名同学都去甲工厂,则此种情况唯一.

综上所述,共有27+9+1=37种安排方法,B正确.

对于C,若A必去甲工厂,则B,C2名同学各有4种安排方法,共有4×4=16种安排方法,C正确.

对于D,若3名同学所选工厂各不同,则共有=24种安排方法,D正确.

故选BCD.

10.从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数,则在所组成的数中(　　)

A.偶数有60个 

B.比300大的奇数有48个

C.个位和百位数字之和为7的数有24个 

D.能被3整除的数有48个

答案:ACD

解析:根据题意,依次分析选项:

对于选项A,其个位数字为2或4或6,有3种情况,在剩余5个数字中任选2个,安排在百位和十位,有=20种情况,则有3×20=60个三位偶数,选项A正确;

对于选项B,分两种情况讨论,若百位数字为3或5,有2×2×4=16个三位奇数,若百位数字为4或6,有2×3×4=24个三位奇数,则符合题意的三位数有16+24=40个,选项B错误;

对于选项C,个位和百位数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),共3种情况,则符合题意的三位数有3=24个,故选项C正确;

对于选项D,能被3整除,则三个数字之和为3的倍数,共有(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)8种选择,故能被3整除的数有8=48个,故选项D正确.故选ACD.

11.已知,则下列说法正确的是(　　)

A.若a=1,则展开式中的常数项为15 

B.若a=2,则展开式中各项系数之和为1

C.若展开式中的常数项为60,则a=2 

D.若展开式中各项系数之和为64,则a=2

答案:AB

解析:对于选项A,若a=1,则展开式的通项Tk+1=·(-1)k·,

令6-=0,得k=4,故所求常数项为=15,故选项A正确;

对于选项B,若a=2,则展开式中各项系数之和为(2-1)6=1,故选项B正确;

对于选项C,由通项Tk+1=·(-1)k·a6-k·,令6-=0,得k=4,故所求常数项为·a2=15a2=60,解得a=±2,故选项C错误;

对于选项D,若展开式中各项系数之和为64,即(a-1)6=64=26,解得a=-1或a=3,故选项D错误,

故选AB.

12.将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到学校的图书馆、食堂、实验室帮忙,要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙,则下列选项正确的是(　　)

A.总共有12种分配方法

B.总共有36种分配方法

C.若甲、乙安排在同一个地方帮忙,则有6种分配方法

D.若甲、乙均安排在图书馆帮忙,则有2种分配方法

答案:BCD

解析:根据题意,依次分析选项:

对于选项A,B,先将4人分为3组,再将三组安排到三个场馆,有=36种安排方法,选项A错误,B正确;

对于选项C,先将甲、乙安排在同一个地方,有3种情况,再将其余2人,安排到其他的两个地方,有3×=6种安排方法,选项C正确;

对于选项D,若甲、乙均安排在图书馆帮忙,将丙、丁安排在食堂、实验室帮忙即可,有=2种安排方法,选项D正确.故选BCD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.

13.在的展开式中x4的系数是　　　　　. 

答案:40

解析:展开式的通项是Tk+1=(x2)5-k=(-2)kx10-3k,令10-3k=4,解得k=2.

∴的展开式中x4的系数为(-2)2=40.

故答案为40.

14.学校计划在公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂四棵桂花树,佛手银杏、马铃银杏两棵银杏树,要求两棵银杏树必须相邻,则不同的种植方法共有　　　　　种. 

答案:240

解析:分两步完成:

第一步,将两棵银杏树看成一个元素,考虑其顺序,有种种植方法;

第二步,将银杏树与四棵桂花树全排列,有种种植方法.

根据分步乘法计数原理,不同的种植方法共有=240种.

15.将5名志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有　　　　　种. 

答案:90

解析:先分组,再把三组分配乘以,得=90种.

16.(1+sin x)6的展开式中,二项式系数最大的一项的值为,则x在区间[0,2π]上的值为　　　　　. 

答案:

解析:由题意,得T4=sin3x=20sin3x=,

∴sinx=.

∵x∈[0,2π],∴x=或x=.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)10件不同厂生产的同类产品:

(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法?

(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的2件商品放上,有多少种不同的布置方法?

解(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行全排列,有=1680种选法.

(2)分两步完成:第一步,将获金质奖章的2件商品布置在6个位置中的2个位置上,有种方法;第二步,从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有种方法.

根据分步乘法计数原理,共有=50400种布置方法.

18.(12分)已知(1+2)n的展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,而且是它的后一项系数的.

(1)求展开式中二项式系数最大的项;

(2)求展开式中所有的有理项.

解:(1)二项式的通项为Tk+1=(2k),

由题意知展开式中第(k+1)项系数是第k项系数的2倍,是第(k+2)项系数的,

依题意得

整理得

即

解得

因此展开式中二项式系数最大的两项是T4=(2)3=280与T5=(2)4=560x2.

(2)由(1)知二项式的通项为Tk+1=·2k·(k=0,1,2,…,7),

∴当Tk+1=·2k·为有理项时,k=0,2,4,6,

∴展开式中所有的有理项为T1=·20·x0=1,

T3=·22·x1=84x,T5=·24·x2=560x2,

T7=·26·x3=448x3.

19.(12分)现有7人等待安排活动.

(1)若安排这7人去参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不同的安排方法?

(2)若7人全部安排到3项不同的活动中,求每项活动至少安排1人的方法总数.

解(1)每个人都有去不去两种可能,则有27=128 种,但必须有人去,去掉都不去这一种情况,则共有128-1=127种安排方法.

(2)该问题共分为四类:

第一类,7人中恰有5人分配到其中一项活动中,另外两项活动各分配1人,共有=126种;

第二类,7人中恰有4人分配到其中一项活动中,另外两项活动分别分配2人与1人,共有=630种;

第三类,7人中恰有3人分配到其中一项活动中,另外两项活动分别分配3人与1人,共有=420种;

第四类,7人中恰有3人分配到其中一项活动中,另外两项活动各分配2人,共有=630种.

所以每项活动至少安排1人的方法总数为126+630+420+630=1806种.

20.(12分)4名男同学和5名女同学站成一排.

(1)5名女同学必须站在一起,有多少种不同的排法?

(2)任何两名女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?

(3)男生和女生相间排列方法有多少种?

解(1)根据题意,将5名女同学看成一个整体,与4名男同学全排列即可,有=14400种排法.

(2)根据题意,先排4名男同学,再将女同学安排在排男同学形成的空位中,有=2880种排法.

(3)根据题意,男生和女生相间排列,先排5名女同学,再将男同学依次安排在女同学相互之间的空位中,有=2880种排法.

21.(12分)已知f(n)=a1+a2+…+ar+…+an+1(n∈N*).

(1)若an=n-1,求f(n);

(2)若an=3n-1,求f(20)除以5的余数.

解(1)因为f(n)=a1+a2+…+ar+…+an+1(n∈N*),

又an=n-1,所以f(n)=0+1+2+…+n,

所以f(n)=n+(n-1)+(n-2)+…+0·,可得2f(n)=n+n+n+…+n=n(+…+)=n·2n,所以f(n)=n·2n-1.

(2)因为f(n)=30+31+32+…+3n=(1+3)n=4n,

所以f(20)=420=(5-1)20=520-519+518-…+52-51+50,

除以5余数为1,所以f(20)除以5的余数为1.

22.(12分)如图,从左到右有五个空格.

(1)向这五个格子中填入0,1,2,3,4五个数,要求每个数都要用到,且第三个格子不能填0,则一共有多少种不同的填法?

(2)若向这五个格子中放入六个不同的小球,要求每个格子里都有球,则有多少种不同的放法?

(3)若给这五个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色,现有红、黄、蓝三种颜色可供使用,则一共有多少种不同的涂法?

解(1)根据题意,分两步:

第一步,第三个格子不能填0,则第三个格子有4个数字可选,有4种填法;

第二步,将剩下4个数字填进4个格子,有=24种情况.

根据分步乘法计数原理,一共有4×24=96种不同的填法.

(2)根据题意,分两步:

第一步,将6个小球分为5组,有=15种分组方法;

第二步,将分好的5组全排列,对应放进五个格子中,有=120种放法.

根据分步乘法计数原理,一共有15×120=1800种不同的放法.

(3)根据题意,左边第一个格子有3种颜色可选,即有3种涂法,左边第二个格子与第一个不同色,则有2种颜色可选,即有2种涂法,同理,第三、四、五个格子分别有2种涂法,故有3×2×2×2×2=48种涂法.