广西专版2023_2024学年新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.3.1离散型随机变量的均值训练提升新人教版选择性必修第三册

7.3　离散型随机变量的数字特征

7.3.1　离散型随机变量的均值

课后·训练提升

基础巩固

1.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)为(　　)

A.0.765 B.1.75 

C.1.765 D.0.22

答案:B

解析:由题意知,X的取值为0,1,2,

因此P(X=0)=0.1×0.15=0.015,

P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,

P(X=2)=0.9×0.85=0.765,

故E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.

2.已知Y=5X+1,E(Y)=6,则E(X)的值为(　　)

A. B.5 

C.1 D.31

答案:C

解析:因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,

所以E(X)=1.

3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为(　　)

A. B. C.2 D.

答案:D

解析:X的取值为2,3.

因为P(X=2)=,P(X=3)=,

所以E(X)=2×+3×.

4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,未命中得0分.已知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的均值是　　　　　. 

答案:0.8

解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.

5.某射手射击所得环数X的分布列如下:

已知X的均值E(X)=8.9,则y的值为　　　　　. 

答案:0.4

解析:依题意得

即

解得y=0.4.

6.已知随机变量X的分布列如表:

若X的均值E(X)=,则ab=　　　　　. 

答案:

解析:由题意,可得

解得a=,b=.

因此ab=.

7.甲、乙、丙三人参加某次招聘会,甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<3),且三人是否应聘成功是相互独立的.若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是,则t=　　　　　,设X表示甲、乙两人中应聘成功的人数,则X的均值是　　　　　. 

答案:2　

解析:依题意,得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是,

解得t=2(负值舍去),

所以乙应聘成功的概率为.X的所有可能的取值为0,1,2,

P(X=2)=,

P(X=1)=×+×,

P(X=0)=×=,

则E(X)=2×+1×+0×.

8.对某个数学题,甲单独解出该题的概率为,乙单独解出该题的概率为.记X为解出该题的人数,则E(X)=　　　　　. 

答案:

解析:设“甲单独解出该题”为事件A,“乙单独解出该题”为事件B,A,B相互独立.

由题意知,X的可能取值为0,1,2.

故P(X=0)=P()P()=,

P(X=1)=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)

=,

P(X=2)=P(A)P(B)=.

因此解出该题的人数X的分布列为

即E(X)=0×+1×+2×.

9.体育课的排球发球项目考试的规则:每名学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发完3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<.

又由p∈(0,1),可得p∈.

10.某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分高低排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是,则p=　　　　　;在上述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的均值为　　　　　. 

答案:

解析:因为教师甲恰好答对3个问题的概率是,所以×p=,解得p=.

由题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

所以P(X=0)=××=,

P(X=1)=××+××+××,

P(X=2)=×+××+×,

P(X=3)=,

所以E(X)=0×+1×+2×+3×.

11.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为X,求X的均值.

解由题意,得(0.006+0.006+0.010+0.054+x+0.006)×10=1,解得x=0.018.

由题意得区间[80,90)内的人数为50×0.018×10=9人,区间[90,100]内的人数为50×0.006×10=3人.

从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,

记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为X,

则X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,

则X的均值E(X)=0×+1×+2×.

能力提升

1.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.设出海的效益为X,根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益E(X)是(　　)

A.2 000元 B.2 200元 

C.2 400元 D.2 600元

答案:B

解析:出海的期望效益E(X)=5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200元.

2.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=(　　)

A. B.

C. D.

答案:B

解析:由题意知X所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,

所以E(X)=0×+1×+2×+3×.

3.某公司有5万元资金用于投资开发项目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:

则该公司一年后估计可获收益的均值是　　　　　元. 

答案:4 760

解析:由题意知,一年后获利6000元的概率为0.96,损失25000元的概率为0.04,故一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760元.

4.某项游戏活动的奖励分为一、二、三等奖,且相应获奖概率是以a1为首项,2为公比的等比数列,相应的奖金是以700元为首项,-140元为公差的等差数列,则参与该游戏获得奖金的均值为　　　　　元. 

答案:500

解析:由概率分布列的性质,可得a1+2a1+4a1=1,解得a1=,从而2a1=,4a1=.

因此参与该游戏获得奖金X的分布列为

所以E(X)=700×+560×+420×=500元.

5.袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后另外放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为X,则E(X)=　　　　　,第二次取到1个白球1个黑球的概率为　　　　　. 

答案:

解析:由题意得X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,

因此E(X)=0×+1×+2×.

第二次取到1个白球1个黑球的概率为P=.

6.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和均值.

解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以,随机变量X的分布列为

随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×.

7.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).

在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,则得-1分;若能被10整除,则得1分.

(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;

(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和均值E(X).

解(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.

(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X的取值为0,-1,1.

因此,P(X=0)=,P(X=-1)=,

P(X=1)=1-.

所以X的分布列为

则E(X)=0×+(-1)×+1×.

8.随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.

(1)求X的分布列;

(2)求1件产品的平均利润(即X的均值);

(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?

解(1)X的所有可能取值为6,2,1,-2.

P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25,

P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02.

故X的分布列为

(2)由(1)知随机变量X的均值E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.

(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29).

依题意,E(X)≥4.73,

即4.76-x≥4.73,

解得x≤0.03,因此三等品率最多为3%.