高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理练习题

1.2　空间向量基本定理

课后·训练提升

基础巩固

1.(多选题)下列关于空间基底的说法,正确的是(　　)

A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面

B.若三个向量a,b,c不共面,则{a,b,c}可以构成空间的一个基底

C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R,λμ≠0),则{a,b,c}可以构成空间的一个基底

D.若向量{a,b,c}构成空间的一个基底,则向量{a,2b,a-b}也能构成空间的一个基底

答案:AB

解析:由空间基底的定义知,AB中说法正确;C中,c与a,b共面,故{a,b,c}不能构成空间的一个基底,C中说法错误;D中,a-b=a-×2b,故a,2b,a-b共面,故D中说法错误.

2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则与a,b不能构成空间的一个基底的向量是(　　)

A. B.

C. D.

答案:C

解析:由题意可知,a-b,且a,b不共线,则a,b,共面,故与a,b不能构成空间的一个基底.

3.在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则为(　　)

A.a-b+c B.-a+b+c

C.a+b-c D.a+b-c

答案:B

解析:由题意可知,)-=-a+b+c.

4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别为AB,A1C1的中点,则EF的长为(　　)

A.2 B. 

C. D.

答案:C

解析:由题意可知,,且||=||=1,||=2,=0,=0,<>=120°,所以||2==()2=||2+||2+||2+2()=1+4+1-1=5,所以||=.故EF的长为.

5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:如图,设=c,=a,=b,AB=1,则a·b=,b·c=,a·c=,

∴=(a+c)·(b-a+c)=-1++1=1.

∵||=|a+c|=,||=|b-a+c|=,

∴cos<>=,

∴AB1与BC1所成角的余弦值为.故选C.

6.如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,点M为PA的中点,=λ.若MN⊥AD,则实数λ为(　　)

A.2 B.3 

C.4 D.5

答案:C

解析:因为四棱锥P-ABCD是正四棱锥,所以四边形ABCD为正方形,PA=PB=PC=PD,因为PA=AB,所以△PAB和△PAD均为等边三角形且边长均相等,所以AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,又点M为PA的中点,=λ,所以=-=-=-)=-+(1-,因为MN⊥AD,所以=0,即=[-+(1-]·=-+(1-=-|·||cos60°+=-=0,解得λ=4,故选C.

7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x=　　　　　,y=　　　　　. 

答案:2　-2

解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+2λc,

于是有解得

8.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是　　　　　. 

答案:60°

解析:由题意可知,=0,=0.

∵,

∴·()=||2=1,

∴cos<>=,

又0°≤<>≤180°,∴<>=60°.

故异面直线a,b所成的角是60°.

9.在三棱锥P-SEF中,FM=3ME,MN=2NS,点H为PF的中点,设=i,=j,=k.

(1)记a=,试用向量i,j,k表示向量a;

(2)若∠ESF=,∠ESP=∠PSF=,SE=SF=4,SP=6,求的值.

解:(1)由题意得=3(),

即j+k,

又MN=2NS,所以j+k,所以j+k-i,

又点H为PF的中点,

所以i+k,所以a=j+k-i+i+k=-i+j+k.

(2)由题意得i·j=i·k=6×4×=12,j·k=0,

所以=(j+k-i)·(i+k)

=·i·j+·i·k-i2+·k·j+k2-·k·i

=×12+×12-×36+×16-×12=-.

10.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.

(1)求证:CE⊥A'D;

(2)求CE与AC'所成角的余弦值.

(1)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底.

根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.

∵=b+c,=-c+b-a,

∴=-c2+b2=0.

∴,即CE⊥A'D.

(2)解:∵=-a+c,=b+c,|a|=|b|=|c|,

∴||=|a|,||=|a|,

又=(-a+c)·c2=|a|2,

∴cos<>=.

故CE与AC'所成角的余弦值为.

能力提升

1.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,O为空间中任意一点,则能使向量构成空间的一个基底的关系是(　　)

A.

B.

C.

D.=2

答案:C

解析:对于A,由,可知M,A,B,C四点共面,即共面;对于B,D,易知共面,故A,B,D不符合题意.故选C.

2.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)

A. B.

C. D.

答案:A

解析:如图,由已知得.因为G1是△ABC的重心,

所以.所以,从而x=y=z=.

3.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)

A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可作为空间的基底

B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N四点共面

D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底

答案:ABCD

解析:根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,否则就不能构成空间的一个基底.显然B中说法正确,C中,由共面且过相同点B,故A,B,M,N四点共面.A中,假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使d=λa+μb,∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使d=kc.∵d≠0,∴k≠0,从而c=a+b,∴c与a,b共面,这与条件矛盾.∴d与a,b不共面.同理可证D中说法也是正确的.

4.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC(PA,PB,PC不在同一平面内),在PA,PB,PC上分别取=a,=b,=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则=　　　　　　　　　　. 

答案:-a+b+c

解析:)-=-a+b+c.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用作为基向量,则=　　　　　. 

答案:)

解析:2=2+2+2=()+()+()=,

所以).

6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是　　　　　. 

答案:90°

解析:设棱长为2,∵,

∴=()·=0-2+2-0=0,

∴.

∴AB1⊥BM.

故AB1与BM所成角的大小为90°.

7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.

(1)试用a,b,c表示向量;

(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.

解:(1)(c-a)+a+(b-a)

=a+b+c.

(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,

∴|a+b+c|=,

∴||=|a+b+c|=,

即MN的长为.

8.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.

(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;

(2)求异面直线DM和AO所成角的大小.

(1)证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则a·b=b·c=a·c,|a|=|b|=|c|=1.

因为(a+b+c),(b+c-5a),(a+c-5b),

(a+b-5c).

所以(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=×(18×1×1×cos60°-9)=0,

所以,

即AO⊥BO.

同理,AO⊥CO,BO⊥CO.

所以AO,BO,CO两两垂直.

(2)解:=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),

则||=.

||=.

因为(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,

所以cos<>=.

又0≤<>≤π,

所以<>=.

故异面直线DM和AO所成角的大小为.