广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3.1空间直角坐标系训练提升新人教版选择性必修第一册

1.3.1　空间直角坐标系

课后·训练提升

1.若空间一点M(a+1,a2-1,a+3)在z轴上,则a=(　　)

A.1 B.0 C.±1 D.-1

答案:D

解析:因为空间点M(a+1,a2-1,a+3)在z轴上,所以解得a=-1,故选D.

2.在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(1,)作Oxy平面的垂线,垂足为Q,则点Q的坐标为(　　)

A.(0,0,) B.(0,)

C.(1,0,) D.(1,,0)

答案:D

3.若点P(-4,-2,3)关于Oxy平面及y轴的对称点的坐标分别为(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为(　　)

A.7 B.-7 

C.-1 D.1

答案:D

解析:由题意知,点P关于Oxy平面的对称点的坐标为(-4,-2,-3),点P关于y轴的对称点的坐标为(4,-2,-3),故c=-3,e=4,故c+e=-3+4=1.

4.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E在棱A1B1上,且B1E=A1B1,则等于(　　)

A. B.

C. D.

答案:C

解析:由题意知,{}为空间的一个单位正交基底,

且=-,故.故选C.

5.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　)

A.点B1的坐标为(4,5,3)

B.点C1关于点B的对称点为(5,8,-3)

C.点A关于直线BD1的对称点为(0,5,3)

D.点C关于平面ABB1A1的对称点为(8,5,0)

答案:ACD

解析:由题意知,点B1的坐标为(4,5,3),故A中说法正确;

B的坐标为(4,5,0),C1的坐标为(0,5,3),故点C1关于点B的对称点为(8,5,-3),故B中说法错误;

由题意知AD1=BC1=5,且AB⊥AD1,即四边形ABC1D1为正方形,所以点A关于直线BD1的对称点为C1(0,5,3),故C中说法正确;

点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),故D中说法正确.故选ACD.

6.点M(-1,-2,3)关于x轴的对称点的坐标是　　　　　. 

答案:(-1,2,-3)

7.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在空间的一个单位正交基底{i,j,k}下的坐标为　　　　　　　　. 

答案:(12,14,10)

解析:由题意可知,p=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10).

8.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长为1,点P在BD'上,且BP=BD',则点P的坐标为　　　　　　. 

答案:

解析:连接BD,易知点P在Dxy平面内的射影在BD上,

∵BP=BD',

∴Px=Py=,Pz=,其中Px,Py,Pz分别为点P的横坐标、纵坐标、竖坐标,

故P.

9.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.

解:如图,以为单位正交基底,建立空间直角坐标系Oxyz,

则=4i,=2j,=4k,

故=-=-()=-=--

=-2i-j-4k=(-2,-1,-4),

-()==-4i+2j-4k=(-4,2,-4).