广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示训练提升新人教版选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示

课后·训练提升

基础巩固

1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=(　　)

A.3 B.2 

C. D.5

答案:A

解析:由已知得,a-b+2c=(9,3,0),

故|a-b+2c|=3.

2.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则(　　)

A.a·b=-2 B.|a|=|b|

C.cos<a,b>= D.(a+b)⊥(a-b)

答案:ABD

解析:因为a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,所以A中等式成立;因为|a|=,|b|=,所以|a|=|b|,故B中等式成立;因为cos<a,b>==-,所以C中等式不成立;因为a+b=(-1,2,1),a-b=(3,2,-1),所以(a+b)·(a-b)=-3+4-1=0,即(a+b)⊥(a-b),故D中关系成立.故选ABD.

3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则(　　)

A.x=,y=1 

B.x=,y=-4

C.x=2,y=- 

D.x=1,y=-1

答案:B

解析:由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在实数λ,使a+2b=λ(2a-b),

∴解得

4.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC是(　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

答案:C

解析:∵=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),∴||=,||=,||=,

∴||2+||2=||2,∴△ABC是直角三角形.

5.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,λ∈R且λ>0,则λ=　　　　　. 

答案:3

解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1-λ,λ).

∵|λa+b|=,∴16+(1-λ)2+λ2=29.即λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.又λ>0,∴λ=3.

6.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围为　　　　　　.

答案:(-∞,-2)

解析:由题意可知,a,b不可能反向共线,故要使a,b的夹角为钝角,只需a·b<0,即2x-6+10<0,解得x<-2.故x的取值范围为(-∞,-2).

7.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:∵b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),

∴|b-a|=.

∴当t=时,|b-a|取得最小值,为.

8.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).

(1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数λ的值;

(2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数λ的值.

解:∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),

∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5).

(1)∵(λa+b)∥(a-3b),

∴,解得λ=-.

(2)∵(a-3b)⊥(λa+b),

∴(a-3b)·(λa+b)=0,即7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=.

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积;

(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

解:(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠DAB=60°,

∴OA=OC=,OB=OD=1,菱形ABCD的面积S菱形ABCD=×2×2=2.

由题意可知,PO为四棱锥P-ABCD的高,∠PBO为PB与平面ABCD所成的角,

故∠PBO=60°.

在Rt△POB中,∵∠PBO=60°,

∴PO=OB·tan60°=.

∴四棱锥P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD=S菱形ABCD·PO=×2=2.

(2)如图,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则D(-1,0,0),A(0,-,0),P(0,0,),E(,0,),

∴=(,0,),=(0,-,-).

∴=0+0+×(-)=-,||=,||=.

∴cos<>==-.

∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

能力提升

1.已知A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则||的取值范围是(　　)

A.[0,5] B.[1,5] 

C.(1,5) D.(0,5)

答案:B

解析:由题意知,=(2cosθ-3cosα,2sinθ-3sinα,0),

故||==.

因为-1≤cos(α-θ)≤1,所以1≤||≤5.

2.(多选题)已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是(　　)

A.=-2

B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为

C.点O到直线BC的距离为

D.O,A,B,C四点共面

答案:AC

解析:由题意得=(0,1,2),=(2,0,-1),于是=-2,故A正确;

又||=,||=,所以cos<>==-,则sin∠AOB=,

因此以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=|OA||OB|sin∠AOB=,故B错误;

由于=(2,0,-1),=(1,2,2),所以=0,故,所以点O到直线BC的距离d=||=,故C正确;

由于=(0,1,2),=(2,0,-1),=(3,2,1),假设共面,则存在实数λ和μ使得=λ+μ,所以无解,故不共面,故D错误.故选AC.

3.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ的夹角为120°,则λ的值为(　　)

A.± B. 

C.- D.±

答案:C

解析:∵=(1,0,0),=(0,-1,1),

∴+λ=(1,-λ,λ),

∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|=,||=.

∴cos120°==-,∴λ2=.

又<0,∴λ=-.

4.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0,),B-,C(-1,0,),则角A的大小为　               . 

答案:30°

解析:因为=-,0,=(-1,0,0),所以,||=1,||=1.

所以cosA=,所以角A的大小为30°.

5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为CC1的中点,点P,Q均在平面A1B1C1D1内,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.则PQ与BD的位置关系是　　　　　;A1P的最小值为　　　　　. 

答案:平行　

解析:以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(0,1,),B(1,1,0),因为P,Q均在平面A1B1C1D1内,

所以设P(a,b,1),Q(m,n,1),所以=(-1,1,-),=(a-1,b-1,1),=(m-1,n-1,1).

因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,

所以

解得

所以n-b=m-a,=(m-a,m-a,0).

因为=(1,1,0),所以=(m-a),

又PQ与BD不重合,所以PQ与BD的位置关系是平行.

因为=(a-1,b,0),所以||=

=.

因此,当a=时,||取得最小值,且最小值为.

6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC和A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°?

解:如图,以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz.

由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.

假设存在点N,满足条件.

因为点N在棱CC1上,所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2).

因为=(,1,2),,

所以||=2,||==2m-1.

如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°,

那么向量的夹角等于45°或135°.

又cos<>=,

所以=±,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾.

所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.

7.如图,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.

(1)求CE的长;

(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;

(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.

解:连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

因为侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点,

所以A,S,C,B,E(,0,).

(1),所以||=,即CE=.

(2)因为=-,0,-,

所以cos<>==-.

故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.

(3)证明:因为G在SC上,所以共线,

所以可设=λ,0<λ<1,

则+(-λ,0,-λ)=.

因为OG⊥SC,即,

所以=0.

所以λ-(1-λ)=0,解得λ=.

所以.

又,

所以=-+0+=0.

所以,即OG⊥BE.