广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课时用空间向量研究直线平面的平行关系训练提升新人教版选择性必修第一册

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系

课后·训练提升

基础巩固

1.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则实数λ的值是(　　)

A.- B.6 

C.-6 D.

答案:B

2.设a=(3,-2,-1)是直线l的一个方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的一个法向量,则(　　)

A.l⊥α B.l∥α

C.l∥α或l⊂α D.l⊂α或l⊥α

答案:C

解析:因为a·n=3×1+(-2)×2+(-1)×(-1)=0,所以这两个向量垂直,得出l∥α或l⊂α.

3.已知平面α内的两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则平面α的一个法向量为(　　)

A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)

C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)

答案:B

4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A.相交 

B.平行

C.垂直 

D.不能确定

答案:B

解析:如图,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,则M(2,1,1),N(1,1,2),所以=(-1,0,1).易知平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0).因为·n=0,MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.

5.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为AB,CD,BC的中点.下列结论正确的是(　　)

A.A1M∥D1P

B.A1M∥B1Q

C.A1M∥平面DCC1D1

D.A1M∥平面D1PQB1

答案:ACD

解析:因为,所以.又A1M与D1P不重合,所以A1M∥D1P,故A中结论正确;由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.故C,D中结论正确;因为PQ与D1B1平行但不相等,所以四边形D1PQB为梯形,即D1P与B1Q不平行,即A1M与B1Q不平行,故B中结论不正确.

6.已知直线l∥平面α,且直线l的一个方向向量为m=(2,-8,1),平面α的一个法向量为n=(1,y,2),则y=　　　　　. 

答案:

解析:由题意可知,m·n=2-8y+2=0,解得y=.

7.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=　　　　　,

=　　　　　(用向量表示). 

答案:11　-4

解析:=(-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0),

由题意知A,B,C,P四点共面,

故存在实数λ,μ,

使得=λ+μ=(-2λ,2λ,-2λ)+(-μ,6μ,-8μ)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ).

所以解得

而x-4=-2λ-μ,

所以x=11,=-4.

8.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以=(x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x=　　　　　. 

答案:-4

解析:由题意可知,=(-2,2,-2),=(-1,6,-8),

则平面ABC的一个法向量为n=(2,7,5).

由n·=0,得2x-7+15=0,

解得x=-4.

9.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.求证:EF∥平面SAD.

证明:如图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设AB=a,SD=b,则E(a,,0),F(0,),所以=(-a,0,).

由题意可知,CD⊥平面SAD,故=(0,a,0)为平面SAD的一个法向量.

因为=0,EF⊄平面SAD,

所以EF∥平面SAD.

能力提升

1.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,则y2等于(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

答案:B

解析:由题意可知,=(1,1,0),=(-1,-1,-2).因为a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,所以a·=0,a·=0.

所以解得所以y2=1.

2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,则直线MN与平面OCD的位置关系为(　　)

A.MN∥平面OCD

B.MN⊥平面OCD

C.MN⊂平面OCD

D.MN与平面OCD相交

答案:A

解析:(方法一)∵=-)-,MN⊄平面OCD,

∴MN∥平面OCD.

(方法二)过点A作AP⊥CD,垂足为P,易知AB,AP,AO两两垂直,以A为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则P(0,,0),D(-,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1-,0),

则=(1-,-1),=(0,,-2),=(-,-2).

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),

则

取z=,则x=0,y=4.于是n=(0,4,)是平面OCD的一个法向量.

∵·n=(1-,-1)·(0,4,)=0,MN⊄平面OCD,∴MN∥平面OCD.

3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ(λ∈R),若B1F∥平面A1BE,则λ=(　　)

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:如图所示,以A为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E(0,1,),A1(0,0,1),D1(0,1,1),C1(1,1,1),

则=(-1,0,1),=(-1,1,).

设n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则由取z=2,则x=2,y=1,于是n=(2,1,2)为平面A1BE的一个法向量.

由=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1).

又因为B1(1,0,1),所以=(λ-1,1,0).

由B1F∥平面A1BE,得·n=0,即(λ-1,1,0)·(2,1,2)=0,即2(λ-1)+1=0,解得λ=.

4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点.若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是(　　)

A.线段CC1中点 B.线段BC中点

C.线段CD中点 D.线段C1D1中点

答案:ABD

解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

设CC1,BC,CD,C1D1的中点分别为M,N,P,Q,不妨设棱长为2,

则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),

=(0,2,-2),=(-2,2,0),设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),

则令y=1,则n=(1,1,1),

又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),

则·n=-2×1+2×1=0,·n=-1×1+2×1-1×1=0,·n=-2×1+1×1-1×1=-2,

·n=-2×1+1×1+1×1=0,又EM,EN,EQ⊄平面A1BC1,则EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,即若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是线段CC1中点,线段BC中点或线段C1D1中点.故选ABD.

5.如图,在空间直角坐标系中,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,PB与平面xDy的所成角为,E为PB中点,则平面ABE的单位法向量n0=　　　　.(用坐标表示) 

答案:±(,0,)

6.如图,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.求证:AP∥平面EFG.

证明:如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则P(0,0,2),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),

所以=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).

设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),

则所以

令z=1,则x=1.

所以n=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量.

因为n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,AP⊄平面EFG,所以AP∥平面EFG.

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.

解:存在一点E,使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点.理由如下:

如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则由题意可知,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0),

所以=(-1,-1,1),=(0,2,-1).

设=λ(0≤λ≤1),则=(-1,2λ-1,1-λ).

若CE∥平面PAB,则·n=0,即2λ-1=0,所以λ=,此时E为PD的中点.

故在棱PD上存在一点E,使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点.