高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时练习

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

课后·训练提升

1.(多选题)下列说法正确的有(　　)

A.若两直线斜率相等,则两直线平行

B.若两直线平行,则两直线的斜率相等

C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交

D.已知l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,若k1k2=-1,则l1⊥l2

答案:CD

解析:当两直线斜率相等或都不存在时,两直线平行或者重合,故A说法不正确;当两直线平行时,它们的斜率可能不存在,故B说法不正确;CD正确.

2.经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则m的值是(　　)

A.4 B.1 

C.1或3 D.1或4

答案:B

解析:由题意,知=1,解得m=1.

3.已知直线l1,l2的斜率是方程x2+mx-2=0的两个根,则(　　)

A.l1∥l2

B.l1⊥l2

C.l1与l2相交但不垂直

D.l1与l2的位置关系不确定

答案:C

解析:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为Δ=m2+8>0,所以方程x2+mx-2=0有两个不相等的实数根,所以直线l1与l2相交.又k1k2=-2≠-1,所以直线l1与l2不垂直,故选C.

4.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形ABCD的形状为(　　)

A.梯形 B.平行四边形

C.菱形 D.矩形

答案:B

解析:如图所示,

设AB边所在直线的斜率为kAB,BC边所在直线的斜率为kBC,CD边所在直线的斜率为kCD,AD边所在直线的斜率为kAD,对角线BD所在直线的斜率为kBD,对角线AC所在直线的斜率为kAC.

易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,kBD=-,kAC=,即kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=-,故AB∥CD,AD∥BC,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直,因此四边形ABCD为平行四边形.

5.已知四点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则m的值为(　　)

A.1 B.0

C.0或2 D.0或1

答案:D

解析:当m=0时,直线AB与直线CD的斜率都不存在,且直线AB与直线CD不重合,此时直线AB与直线CD平行;当m≠0时,直线AB的斜率kAB=,直线CD的斜率kCD=,由,解得m=1.

综上所述,m的值为0或1.

6.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则其顶点A的坐标为(　　)

A.(-19,-62) 

B.(19,-62)

C.(-19,62) 

D.(19,62)

答案:A

解析:设A(x,y),直线AH的斜率为kAH,直线BC的斜率为kBC,直线BH的斜率为kBH,直线AC的斜率为kAC.由已知,得AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,所以

即解得

即A(-19,-62).

7.已知直线l1:y=x,若直线l2⊥l1,则直线l2的倾斜角为　　　　　. 

答案:135°

解析:因为直线l1的斜率k1=1,所以若直线l2⊥l1,则直线l2的斜率k=-1,所以直线l2的倾斜角为135°.

8.已知A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2)三点,点D在x轴上,则当点D的坐标为　　　　　时,AB⊥CD;当点D的坐标为　　　　　时,AB∥CD. 

答案:(-9,0)　

解析:∵点D在x轴上,

∴设点D(x,0),

又A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2).

∴直线AB的斜率kAB==4≠0,

∴直线CD的斜率存在.

由AB⊥CD,知kAB·kCD=-1(其中kCD为直线CD的斜率),

即4·=-1,解得x=-9,

此时点D的坐标为(-9,0);

由AB∥CD,知kAB=kCD=4,

即=4,解得x=-,此时点D的坐标为.

9.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:

(1)倾斜角为135°?

(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直?

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行?

解:(1)由题意得直线AB的斜率kAB==-1,得2m2+m-3=0,解得m=-或1.

(2)由=3及垂直关系,

得=-,

解得m=或m=-3.

(3)令=-2,

解得m=或m=-1.

10.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.

解:由斜率公式,得边OP所在直线的斜率kOP==t,边QR所在直线的斜率kQR==t,边OR所在直线的斜率kOR==-,边PQ所在直线的斜率kPQ==-.

∵kOP=kQR,kOR=kPQ,

∴OP∥QR,OR∥PQ,

∴四边形OPQR为平行四边形.

又kOP·kOR=-1,

∴OP⊥OR,

∴四边形OPQR为矩形.

又OP=,OR=2,

∴OP≠OR,即四边形OPQR不是正方形.

综上,四边形OPQR为矩形.