数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步达标检测题

2.2.2　直线的两点式方程

课后·训练提升

基础巩固

1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为(　　)

A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0

C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0

答案:B

解析:经过(5,0),(2,-5)两点的直线方程为,整理得5x-3y-25=0.故选B.

2.已知直线的方程为=1,则该直线在y轴上的截距是(　　)

A.|b| B.-b2 

C.b2 D.±b

答案:B

解析:令x=0,得y=-b2,即直线在y轴上的截距是-b2.

3.(多选题)下列说法正确的是(　　)

A.不经过原点的直线都可以表示为=1

B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,线段AB的中点为(4,1),则直线l的方程为=1

C.过点(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=x或x+y=2

D.直线3x-2y=4的截距式方程为=1

答案:BCD

解析:对于A,与坐标轴垂直的直线不能用截距式表示,故A错误;对于B,由题意可知,线段AB的中点为(4,1),所以点A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为=1,故B正确;对于C,直线过原点时,直线方程为y=x,不过原点时,直线方程为x+y=2,故C正确;对于D,方程3x-2y=4可化为=1,故D正确.故选BCD.

4.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 010,b)在直线l上,则b的值为(　　)

A.2 010 B.2 020 

C.2 021 D.2 019

答案:C

解析:由题意得,直线l的两点式方程为,即y=2x+1,将点(1010,b)代入方程,得b=2×1010+1=2021.

5.已知直线l过点P(1,-2),且在x轴和y轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为(　　)

A.x-y-3=0

B.x+y+1=0或2x+y=0

C.x-y-3=0或2x+y=0

D.x+y+1=0或x-y-3=0或2x+y=0

答案:C

解析:当直线l过原点及P(1,-2)时,直线l的方程为2x+y=0;当直线不过原点时,可设直线l的方程为=1(a≠0),将点P(1,-2)代入,得a=3,此时直线l的方程为x-y-3=0.

综上,直线l的方程为2x+y=0或x-y-3=0.

6.直线l1:=1和直线l2:=1在同一平面直角坐标系中的位置可以是(　　)

答案:A

解析:将两条直线的方程化为截距式分别为=1,=1.根据l1的位置判断a,b的正负,再确定l2的位置,知A符合.

7.已知直线l过点P(-1,2),分别与x轴、y轴交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则直线l的方程为　. 

答案:2x-y+4=0

解析:设A(x,0),B(0,y).

由P(-1,2)为AB的中点,得解得

由截距式得直线l的方程为=1,

即2x-y+4=0.

8.过点(1,3),且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　　　　　　　　　. 

答案:3x+y-6=0

解析:由题意知直线过点(2,0),又直线过点(1,3),由两点式,可得,整理得3x+y-6=0.

9.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是　　　　　　　.

答案:=1

解析:由题意可设直线方程为=1,则解得a=2,b=3,

则直线方程为=1.

10.求经过点A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式.

解:过A,B两点的直线的两点式方程是.

因为kAB==-,所以点斜式方程为y-(-1)=-(x-4)或y-3=-[x-(-2)].

因为当x=0时,y=,所以斜截式方程为y=-x+.

又当y=0时,x=,所以截距式方程为=1.

11.已知直线l经过点P(4,1),

(1)若直线l经过点Q(-1,6),求直线l的两点式方程;

(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.

解:(1)已知直线l经过点P(4,1),Q(-1,6),由两点式,得直线l的方程为.

(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,

则其方程为y-1=k(x-4).

令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.

由题意得1-4k=2,解得k=或k=-2.

因此,直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即x-4y=0或2x+y-9=0.

能力提升

1.已知△ABC的两个顶点A(-3,0),B(2,1),△ABC的重心G(-1,1),则AB边中线所在的直线方程为(　　)

A.x+y=0 B.x-y=0

C.x+2y=0 D.x-2y=0

答案:A

解析:设点C的坐标为(x0,y0),则由重心的坐标公式得解得所以点C的坐标为(-2,2).

设AB的中点为点D,则可得点D的坐标为-,所以AB边中线CD所在的直线方程为,即x+y=0.

2.若经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正数,且截距之和最小,则直线的方程为(　　)

A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0

C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0

答案:B

解析:设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b,其中a>0,b>0,则该直线的截距式方程为=1,由该直线经过点P(1,4),得=1,则截距之和a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,且=1,即a=3,b=6时取等号,此时直线方程为=1,即2x+y-6=0.故选B.

3.(多选题)已知直线l过点(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可以是(　　)

A.2x-y=0 B.x+y=3

C.x-2y=0 D.x-y+1=0

答案:ABD

解析:由题意设所求直线的横截距为a,当a=0时,由题意可设直线的方程为y=kx,将点(1,2)代入,可得k=2,所以直线的方程为2x-y=0;当a≠0时,由截距式方程可设直线的方程为=1(截距相等)或=1(截距相反),将点(1,2)代入,可得a=3或a=-1,所以直线的方程为x+y=3或x-y+1=0.故选ABD.

4.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为　　　　　　　　. 

答案:=1或+y=1

解析:设直线l在y轴上的截距为a(a≠0,a≠-1),则l在x轴上的截距为a+1,则l的方程为=1,将点A的坐标(6,-2)代入方程,得=1,即a2-3a+2=0,解得a=2或a=1,故直线l的方程为=1或+y=1.

5.直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.

解:设直线l的方程为=1(a≠0,b≠0),

则a+b=12.①

又直线l过点(-3,4),即=1.②

由①②解得

故所求的直线方程为=1或=1,

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

6.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:

(1)顶点C的坐标;

(2)直线MN的方程.

解:(1)设C(x0,y0),则AC边的中点为M,BC边的中点为N.

因为点M在y轴上,所以=0,解得x0=-5.

又点N在x轴上,所以=0,解得y0=-3.

所以顶点C的坐标为(-5,-3).

(2)由(1)可得M,N(1,0),

故直线MN的方程为=1,

即5x-2y-5=0.