人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程综合训练题

2.3.1　两条直线的交点坐标

2.3.2　两点间的距离公式

课后·训练提升

基础巩固

1.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　)

A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1)

答案:C

解析:由得交点坐标为(1,2),故选C.

2.已知连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为(　　)

A.41 B. C. D.39

答案:B

解析:设M(x,y),由题意得解得即M(4,-5).

则点M到原点的距离为.

3.过直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程是(　　)

A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0

C.x-3y+6=0 D.x-3y+5=0

答案:B

解析:解方程组故直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点坐标为(-1,4).又所求直线与直线3x+y-1=0垂直,故所求直线的斜率为.由点斜式,得所求直线的方程为y-4=[x-(-1)],即x-3y+13=0,故选B.

4.已知过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为(　　)

A.6 B.2

C. D.不能确定

答案:C

解析:由题意,知直线AB的斜率kAB=1,故=1,

∴b-a=1,

∴|AB|=.

5.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p为(　　)

A.24 B.20 C.0 D.-4

答案:B

解析:设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2.

∵直线l1,l2互相垂直,∴k1·k2=-1,∴-=-1,解得m=10.

又垂足为(1,p),

∴代入直线方程10x+4y-2=0,得p=-2.将(1,-2)代入直线方程2x-5y+n=0,得n=-12,

∴m-n+p=20.

6.(多选题)已知直线l1:kx-y+2-3k=0与直线l2:x+2y+2=0的交点在第三象限,则实数k的值可能为(　　)

A. B. 

C. D.2

答案:BC

解析:联立可得

因为两直线的交点在第三象限,所以x<0且y<0,解得<k<1.故选BC.

7.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|=　　　　　. 

答案:2

解析:设A(a,0),B(0,b),由中点坐标公式,得解得

则|AB|==2.

8.已知平面上三点坐标为A(2,-1),B(0,2),C(1,0),小明在点B处休息,一只小狗沿AC所在直线来回跑动,则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为　　　　　　. 

答案:

解析:因为kAC==-1,所以直线AC的方程为y=-(x-1),即y=-x+1.设小狗的位置为点P,当BP⊥AC时,小狗距离小明最近,此时直线BP的方程为y=x+2,联立解得因此小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.

9.已知等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(3,0),底边BC的长为4,BC边的中点D的坐标为(5,4),则此三角形的腰长为　　　　　. 

答案:2

解析:由题意,得|BD|=|BC|=2,

|AD|==2.

在Rt△ADB中,由勾股定理得腰长|AB|==2.

10.已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试分别根据下列条件确定m,n的值:

(1)l1与l2相交于一点P(m,1);

(2)l1∥l2且l1过点(3,-1);

(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1.

解:(1)由于直线l1与l2相交于一点P(m,1),

把P(m,1)的坐标分别代入直线l1,l2的方程得解得

(2)显然m≠0.

∵l1∥l2且l1过点(3,-1),

∴解得

(3)当l1⊥l2时,满足2m+8m=0,解得m=0.

又l1在y轴上的截距为-1,即l1过点(0,-1),代入得-8+n=0,解得n=8,∴m=0,n=8.

11.(1)已知点A(1,-1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标.

(2)求过两条直线l1:x=-2与l2:2x+y=-3的交点M,且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.

解:(1)设P(t,t),则|PA|2+|PB|2=(t-1)2+(t+1)2+(t-2)2+(t-2)2=4t2-8t+10=4(t-1)2+6,

∴当t=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时点P的坐标为(1,1).

(2)由方程组解得

即点M的坐标为(-2,1).

根据题意,知当两坐标轴上的截距均为0时,

所求直线的方程为y=-x,即x+2y=0.

当两坐标轴上的截距均不为0时,设所求直线l的方程为=1,

根据题意可得解得所以所求直线的方程为=1,即x+y+1=0.

综上所述,直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.

能力提升

1.若直线ax+by-11=0与直线3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和直线x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为(　　)

A.-3,-4 B.3,4

C.4,3 D.-4,-3

答案:B

解析:解方程组

由题意得解得

2.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)

A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0

答案:B

解析:设P(x,y),

则,

即3x+y+4=0.

3.直线x+y-1=0上与点P(-2,3)之间距离等于的点的坐标是(　　)

A.(-4,5) B.(-3,4)

C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1)

答案:C

解析:设所求点的坐标为(x0,y0),有x0+y0-1=0,且,

两式联立解得故选C.

4.(多选题)平面上有三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0.若这三条直线将平面分为六部分,则实数k的值可以是(　　)

A.0 B.2 

C.-1 D.-2

答案:ACD

解析:依题意,要么三条直线相交于一点,要么有其中两条直线平行.当三条直线交于一点时,直线x-2y+1=0和直线x-1=0的交点是(1,1),所以直线x+ky=0过点(1,1),解得k=-1;若直线x+ky=0与直线x-1=0平行或与直线x-2y+1=0平行,解得k=0或k=-2,所以实数k的取值集合是{0,-1,-2},故选ACD.

5.若直线l:y=kx-与直线l1:2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:(30°,90°)

解析:直线l1:2x+3y-6=0过A(3,0),B(0,2),

而l过定点C(0,-).

设直线l的斜率为k,直线AC的斜率为kAC.

由图象可知

故直线l的倾斜角α的取值范围是(30°,90°).

6.三条直线l1:x+y-1=0,l2:x-2y+3=0,l3:x-my-5=0围成一个三角形,则m的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:(-∞,-4)∪(-4,-1)∪(-1,2)∪(2,+∞)

解析:当直线l1:x+y-1=0平行于l3:x-my-5=0时,m=-1;

当直线l2平行于l3时,m=2;

当三条直线经过同一个点时,由

解得故l1与l2的交点为,代入l3方程,得m=-4.

综上,m为-1或2或-4时,三条直线均不能构成三角形.

故当三条直线围成一个三角形时,m的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,-1)∪(-1,2)∪(2,+∞).

7.在x轴上求一点P,使得:

(1)点P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;

(2)点P到点A(4,1),C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.

解:如图,

(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,

且|PB|-|PA|=|AB|==5.

∵直线BA的斜率kBA==-,

∴直线BA的方程为y=-x+4.

令y=0,得x=,即P.

故距离之差的最大值为5,此时点P的坐标为.

(2)作点A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA',则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点P1为所求点.

由两点间的距离公式,得|CA'|=.

∵直线CA'的斜率kCA'==-5,

∴直线CA'的方程为y-4=-5(x-3).

令y=0,得x=,即P1.

故当点P位于P1位置时,距离之和取得最小值,为,此时点P的坐标为.

8.已知直线l:(4λ+1)x-(λ+1)y+3=0.

(1)求证:直线l过定点;

(2)若直线l被两平行直线l1:x-2y+2=0与l2:x-2y-6=0所截得的线段AB的中点恰好在直线2x+y+6=0上,求λ的值.

(1)证明:直线l的方程可化为λ(4x-y)+x-y+3=0,

令解得

因此直线l过定点(1,4).

(2)解:设直线l1,l2分别与直线2x+y+6=0交于C,D两点,

由解得

所以点C;

由解得

所以点D,所以CD的中点M的坐标为(-2,-2).

不妨设点A在直线l1上,点B在直线l2上,则△AMC≌△BMD,即MA=MB,

故M(-2,-2)为AB的中点.

将点M的坐标代入直线l的方程,

得(4λ+1)(-2)-(λ+1)(-2)+3=0,解得λ=.