数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时练习

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

课后·训练提升

基础巩固

1.点(1,-1)到直线y=1的距离d是(　　)

A. B. 

C.3 D.2

答案:D

解析:d==2,故选D.

2.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程为(　　)

A.2x+y=0

B.2x+y-2=0

C.2x+y=0或2x+y-2=0

D.2x+y=0或2x+y+2=0

答案:D

解析:根据题意,知所求直线与直线2x+y+1=0平行,故可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),因为这两条直线间的距离等于,所以由两条平行直线间的距离公式,得距离d=,解得C=0或C=2,

故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.

3.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)

A.1 B. 

C. D.2

答案:B

解析:由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,最大值为|AP|=.

4.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1,l2间的距离是(　　)

A. B. C.4 D.2

答案:B

解析:∵l1∥l2,∴解得a=-1.

∴直线l1的方程为x-y+6=0,l2的方程为-3x+3y-2=0,即x-y+=0.

由两条直线间的距离公式得直线l1,l2间的距离是.

5.过两条直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,并与原点的距离等于1的直线共有(　　)

A.0条 B.1条 C.2条 D.3条

答案:B

解析:解方程组

即两条直线的交点坐标为(0,1).

由交点到原点的距离为1,可知只有1条直线符合条件.

6.(多选题)已知两条不重合的直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,且始终保持平行,则l1,l2之间的距离d可能的取值为(　　)

A.2 B.2 

C.5 D.2

答案:ABC

解析:易知两直线之间的距离的最大值为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|==5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5],因此d的可能取值为2,2,5,故选ABC.

7.设点P在直线x+3y=0上,且点P到原点的距离与点P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P的坐标是　　　　　　　. 

答案:

解析:设P(-3a,a),

由题意得,

即10a2=,解得a=±,

即点P的坐标为.

8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则|AB|的最小值为　　　　　;AB中点到原点距离的最小值为　　　　　. 

答案:　3

解析:|AB|min=;

原点O到直线l1的距离d1=,

原点O到直线l2的距离d2=,

故AB的中点到原点的距离的最小值为=3.

9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)的距离相等的直线l的方程.

解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,

∴直线l的斜率存在,设为k.

又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,

得,解得k=0或k=1.

∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.

解法二:当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.

∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),

∴直线l的方程是x-y+2=0;

当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.

∵直线AB的斜率为0,

∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.

综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.

10.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.

解:设直线l2的方程为y=-x+b(b>1),

则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).

∴|AD|=,|BC|=b.

设梯形的高为h,则h即为A点到直线l2的距离.

由点到直线的距离公式,得h=(b>1),

由梯形的面积公式得(b)×=4,

∴b2=9,b=±3.又b>1,∴b=3.

从而得直线l2的方程是x+y-3=0.

能力提升

1.已知两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是(　　)

A.[-11,-1]

B.[-11,0]

C.[-11,-6)∪(-6,-1]

D.[-1,+∞)

答案:C

解析:y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0.

由两条平行直线间的距离公式,得,且k+2≠-4,即k≠-6,

得-5≤k+6≤5,即-11≤k≤-1,且k≠-6.

2.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是(　　)

A.y=x+1 B.y=2

C.y=x D.y=2x+1

答案:BC

解析:先考虑|PM|的最小值,即点M到所给直线的距离d,当d≤4时,直线上存在点P使|PM|=4,此时该直线为“切割型直线”.

对于A,d1==3>4,不符合条件;

对于B,d2=2<4,符合条件;

对于C,d3==4,符合条件;

对于D,d4=>4,不符合条件.

3.已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为(　　)

A.2 B. C. D.2

答案:B

解析:将(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ变形整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以直线l是经过两直线x+y-2=0和3x+2y-5=0的交点的直线系.设两条直线的交点为Q,解方程组得交点Q(1,1),所以直线l恒过定点Q(1,1),于是点P到直线l的距离d≤|PQ|=,即点P到直线l的距离的最大值为.

4.(多选题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为2,则直线m的倾斜角可能是(　　)

A.15° B.30° 

C.60° D.75°

答案:AD

解析:因为直线l1∥l2,所以直线l1,l2间的距离d=.

如图,设直线m与直线l1,l2分别相交于点B,A,则AB=2.

过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则AC=d=,

则在Rt△ABC中,sin∠ABC=,所以∠ABC=30°.又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.故选AD.

5.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为　　　　　　　　. 

答案:x=-3或7x+24y-75=0

解析:当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意;

当直线l的斜率存在时,

设直线l的方程为y-4=k(x+3),

即kx-y+3k+4=0.

则原点到直线l的距离d==3,

解得k=-.

即直线l的方程为7x+24y-75=0.

综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0.

6.已知实数x,y满足3x-4y+2=0,则x2+y2-4x+6y+13的最小值为　　　　　. 

答案:16

解析:由x2+y2-4x+6y+13可得(x-2)2+(y+3)2,可以看作直线3x-4y+2=0上的动点(x,y)与点(2,-3)之间的距离的平方.又因为点(x,y)与点(2,-3)之间的最小距离为点(2,-3)到直线3x-4y+2=0的距离,即=4,故x2+y2-4x+6y+13的最小值为16.

7.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.

解:设P(x,y)为角A的平分线上任一点,

则点P到直线AB与到直线AC的距离相等.

由已知条件可得直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0,

故由点到直线的距离公式,

有,

即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,

即4x-3y-13=±(3x+4y-16),

整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.

易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.

8.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程.

解:若截距为0,

可设直线l的方程为y=kx.

由题意知=3,解得k=.

若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0.

由题意知=3,

解得a=1或a=13.

故所求直线l的方程为y=x,y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.