高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步测试题

2.4.1　圆的标准方程

课后·训练提升

基础巩固

1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为(　　)

A.(-1,2),2 B.(1,-2),2

C.(-1,2),4 D.(1,-2),4

答案:A

2.方程(x-1)=0所表示的曲线是(　　)

A.一个圆  B.两个点

C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆

答案:D

解析:方程(x-1)=0可化为x-1=0或x2+y2=3,故方程(x-1)=0表示一条直线和一个圆.

3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为(　　)

A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52

答案:B

解析:如图,结合圆的性质可知,原点在圆上.

则圆的半径r=.

故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.

4.圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的方程为(　　)

A.x2+y2=5 

B.(x+1)2+(y-1)2=5

C.x2+y2=5或(x+1)2+(y-1)2=5 

D.x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5

答案:D

解析:由题意可知圆心在直线x+y=0上,设圆心坐标为(a,-a),则(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5,故选D.

5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,1) B.

C. D.

答案:D

解析:依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,

所以a2<,|a|<,即a∈.

故选D.

6.方程x=表示的图形是(　　)

A.两个半圆 B.两个圆

C.圆 D.半圆

答案:D

解析:根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆,故选D.

7.设O为原点,点M在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上运动,则|OM|的最大值为　　　　.

答案:6

解析:圆C的圆心为C(3,4),半径r=1,|OC|=5.

因为点O在圆C的外部,点M在圆C上运动,

所以|OM|max=|OC|+r=5+1=6.

8.已知圆C与圆C1:(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　　. 

答案:x2+(y+1)2=1

解析:由圆C1:(x-1)2+y2=1,得圆心C1的坐标为(1,0),半径r1=1.

设C1(1,0)关于直线y=-x的对称点的坐标为(a,b),

则解得

所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.

9.已知圆C的圆心在x轴上,且过A(1,4),B(2,-3)两点,则圆C的标准方程是　　　　　　　　　　　　. 

答案:(x+2)2+y2=25

解析:设圆心C为(a,0),

由题意可知圆心C到A,B两点的距离相等,

即,

解得a=-2.

半径r==5,

故圆C的标准方程为(x+2)2+y2=25.

10.已知△ABC的三个顶点分别是点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8).求它的外接圆的方程.

解:设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.①

因为点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①.

于是解此方程组,

得

所以,△ABC的外接圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=25.

11.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2(a≠0),试分别求满足下列条件的实数a的值或取值范围:

(1)点A在圆C的内部;

(2)点A在圆C上;

(3)点A在圆C的外部.

解:(1)∵点A在圆C的内部,

∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,即2a+5<0,

解得a<-.故a的取值范围是.

(2)将点A(1,2)的坐标代入圆C的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,即2a+5=0,解得a=-,故a的值为-.

(3)∵点A在圆C的外部,

∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,

解得a>-,又a≠0,

故a的取值范围是∪(0,+∞).

能力提升

1.若直线y=ax+b经过第一、第二、第四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:因为直线经过第一、第二、第四象限,所以a<0,b>0,又圆的圆心为(-a,-b),所以-a>0,-b<0.所以圆心位于第四象限.

2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)

A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9

答案:B

解析:由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,

得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,

由解得即P(-1,1).

∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心C的坐标是(2,-3),

∴|PC|==5,

∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

故选B.

3.设P是圆M:(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(　　)

A.6 B.4 C.3 D.2

答案:B

解析:圆心M(3,-1)到定直线x=-3的距离d=3-(-3)=6.又因为圆的半径为2,所以|PQ|的最小值为d-2=6-2=4.

4.(多选题)设圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列说法正确的是(　　)

A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上

B.所有圆Ck均不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个

D.所有圆的面积均为4π

答案:ABD

解析:由题意知圆心为(k,k),一定在直线y=x上,故A正确;将点(3,0)的坐标代入得2k2-6k+5=0,其中Δ=-4<0,方程无解,即所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;将点(2,2)的坐标代入得k2-4k+2=0,其中Δ=16-8=8>0,所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;所有圆的半径均为2,面积均为4π,故D正确.故选ABD.

5.已知圆M的圆心坐标为(3,4),且A(-1,1),B(1,0),C(-2,3)三点一个在圆M内,一个在圆M上,一个在圆M外,则圆M的方程为　　　　. 

答案:(x-3)2+(y-4)2=25

解析:∵|MA|==5,

|MB|==2,

|MC|=,

∴|MB|<|MA|<|MC|,

∴点B在圆M内,点A在圆M上,点C在圆M外,

∴圆M的半径r=|MA|=5,

∴圆M的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.

6.已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线l:x+y-6=0上.

(1)求圆C的方程;

(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射,反射光线所在直线l1恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线l1的一般方程;

(3)若点Q在直线l上运动,求|QA|2+|QB|2的最小值.

解:(1)由点A(4,0),B(0,4),得直线AB的斜率为kAB==-1,线段AB的中点为D(2,2),所以kCD=1,直线CD的方程为y-2=x-2,即y=x.

联立解得即点C(3,3).

半径r=|AC|=,

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10.

(2)由直线l1恰好平分圆C的圆周,得直线l1经过圆心C(3,3),

设点M关于直线y=-x的对称点为N(x,y),

则直线MN与直线y=-x垂直,且线段MN的中点在直线y=-x上,

可得解得

所以点N(-1,-4),所以直线CN即为直线l1,且=kCN=.

直线l1的方程为y-3=(x-3),即7x-4y-9=0.

(3)已知点Q在直线x+y-6=0上,设点Q(m,6-m),

则|QA|2+|QB|2=(4-m)2+(-6+m)2+(-m)2+(4-6+m)2=4m2-24m+56=4(m-3)2+20,

所以当m=3时,|QA|2+|QB|2取最小值为20.

7.已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求的最大值与最小值.

解:设点P(x,y),A(-1,-1),则点P在圆C:x2+(y+4)2=4上,其中圆心C(0,-4),半径r=2.

P,A两点间的距离|PA|=.

因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外.

又|AC|=,

所以|PA|=的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2.

8.已知圆C的圆心为C(x0,x0),且过定点P(4,2).

(1)求圆C的标准方程.

(2)当x0为何值时,圆C的面积最小?求出此时圆C的标准方程.

解:(1)设圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0).

∵圆C过定点P(4,2),∴(4-x0)2+(2-x0)2=r2.

∴r2=2-12x0+20.

∴圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20.

(2)∵(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2,

∴当x0=3时,圆C的半径最小,即面积最小.

此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.