高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后练习题

2.4.2　圆的一般方程

课后·训练提升

基础巩固

1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)

A.2 B. 

C.1 D.

答案:D

解析:圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为(1,-2),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y=1的距离d=.

2.已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点坐标为(-1,1),则直线AB的方程为(　　)

A.x+2y-1=0 B.x+y=0

C.2x-y+3=0 D.y=1

答案:B

解析:圆x2+y2+4x-5=0的圆心为C(-2,0),设弦AB的中点为P(-1,1),由垂径定理可知PC⊥AB,所以直线PC的斜率为kPC==1,所以直线AB的斜率为kAB=-=-1,所以直线AB的方程为y-1=-(x+1),即x+y=0,故选B.

3.(多选题)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),则下列说法正确的是(　　)

A.圆心C的坐标为(2,7)

B.点Q在圆C外

C.若点P(m,m+1)在圆C上,则直线PQ的斜率为

D.若M是圆C上任一点,则|MQ|的取值范围为[2,6]

答案:ABD

解析:将x2+y2-4x-14y+45=0化为(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),A正确;

因为C(2,7),Q(-2,3)两点之间的距离|CQ|==4>2,所以点Q在圆C外,B正确;

因为点P(m,m+1)在圆C上,所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,即点P(4,5),所以直线PQ的斜率为,C错误;

因为圆心C(2,7),半径r=2,|CQ|=4,

所以|CQ|-r≤|MQ|≤|CQ|+r,即2≤|MQ|≤6,D正确.故选ABD.

4.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的一般方程为(　　)

A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0

C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0

答案:C

解析:直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0,

由得C(-1,2).

故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,

即x2+y2+2x-4y=0.

5.已知圆C过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y=x-2上,则圆C的方程为(　　)

A.x2+y2-6x-2y+6=0 B.x2+y2+6x-2y+6=0

C.x2+y2+6x+2y+6=0 D.x2+y2-2x-6y+6=0

答案:A

解析:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

则解得

所以圆C的方程为x2+y2-6x-2y+6=0.

6.若方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是一个圆,则该圆的圆心在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,

又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,

故圆心坐标为,r2=-a2-3a.

由r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0,

所以->0,a<0,故该圆的圆心在第四象限.

7.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x+3)2+y2=4  B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1

答案:C

解析:设P(x1,y1),线段PQ的中点M的坐标为(x,y),

∵Q(3,0),∴∴x1=2x-3,y1=2y.

又点P在圆x2+y2=1上,

∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.

故选C.

8.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为　　　　　. 

答案:(0,-1)

解析:因为圆的半径r=,

所以当k=0时,r最大,圆的面积最大,

此时圆的方程为x2+y2+2y=0,

即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1).

9.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　　. 

答案:4

解析:由题意得

解得D=-4,E=8,F=4.

10.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程.

解:圆心C的坐标为,

因为圆心在直线x+y-1=0上,

所以--1=0,即D+E=-2.①

又,所以D2+E2=20.②

由①②可得

又圆心在第二象限,所以-<0,->0,即D>0,E<0,所以

所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

11.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.

解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.

由于平行四边形的对角线互相平分,故从而

又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,故(x+3)2+(y-4)2=4.

当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.

因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点和点.

能力提升

1.(多选题)关于方程x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆,下列说法正确的是(　　)

A.圆心在直线y=-x上 B.圆心在x轴上

C.过原点  D.半径为a

答案:AC

解析:将圆的方程化为标准方程可知圆心为(-a,a),半径为|a|,故AC正确.

2.已知A(1,0),B(0,),C(2,)三点,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:B

解析:设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由题意得

解得D=-2,E=-,F=1.

即△ABC外接圆的方程为x2+y2-2x-y+1=0.则圆心坐标为,

故圆心到原点的距离为.

3.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有(　　)

A.D=0,F=0 B.F>0

C.D≠0,F≠0 D.F<0

答案:D

解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0.

由题意知,方程x2+Dx+F=0有两个异号实根,即两根之积小于0,即F<0.此时D2+E2-4F>0,Δ=D2-4F>0,符合题意.

4.已知A(-2,0),B(1,0)两定点,如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A.π B.4π C.8π D.9π

答案:B

解析:设动点P的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得=2,化简得(x-2)2+y2=4,故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,该圆的面积为4π.

5.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　. 

答案:x2+4y2=4

解析:设M(x,y),P(x0,y0).

则由题意可得x0=x,y0=2y.

∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,

∴=4,即x2+4y2=4.

∴点M的轨迹方程为x2+4y2=4.

6.若x,y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是　　　　　. 

答案:30-10

解析:x2+y2-2x+4y-20=0可化为(x-1)2+(y+2)2=25,表示以点C(1,-2)为圆心,以r=5为半径的圆.设原点O(0,0),|OC|=,则x2+y2表示圆上的点与原点之间距离的平方,所以x2+y2的最小值是(5-|OC|)2=(5-)2=30-10.

7.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.

解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.∴圆在x轴上的截距之和为-D.

令x=0,得y2+Ey+F=0,

∴圆在y轴上的截距之和为-E.

由题知-(D+E)=2,∴D+E=-2.①

又点A(4,2),B(-1,3)在圆上,

∴16+4+4D+2E+F=0,②

1+9-D+3E+F=0.③

由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.

8.已知圆x2+y2=4上的一点A(2,0),点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.

(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.

解:(1)设线段AP的中点为M(x,y),P(x0,y0),

则x0=2x-2,y0=2y,

因为点P在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).

(2)设线段PQ的中点为N(x,y),

在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.

设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,

即x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,

故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.