高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程第1课时复习练习题

2.5.1　直线与圆的位置关系

第1课时　直线与圆的位置关系

课后·训练提升

基础巩固

1.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-3,-1] B.[-1,3]

C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

答案:C

解析:由题意得圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离d≤,即,整理得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1,即a的取值范围为[-3,1].

2.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,则(　　)

A.E≠0,D=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0

C.D≠0,E=F=0 D.F≠0,D=E=0

答案:A

解析:由题意得圆心坐标为,即D2=4F,因为圆过原点,所以F=0,于是D=F=0.

又D2+E2-4F>0,所以E≠0.

3.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2的位置关系是(　　)

A.相切 B.相交

C.相离 D.不确定

答案:B

解析:因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,所以>R2,所以圆x2+y2=R2的圆心到直线x0x+y0y=R2的距离=R,所以直线与圆相交.故选B.

4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)

A.0或4 B.0或3

C.-2或6 D.-1或

答案:A

解析:由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d=.又由点到直线的距离公式得d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.故选A.

5.已知圆C:x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:圆的方程x2+y2-6x=0可化为(x-3)2+y2=9,所以圆心C的坐标为C(3,0),半径为3.显然点P在圆C内.当过点P的直线l和直线CP垂直时,直线l被圆C截得的弦的长度最短,此时弦的长度为2=2=2.故选B.

6.(多选题)已知直线l:(1+a)x+y+1=0(a∈R)与圆C:x2+y2=1,下列结论正确的是(　　)

A.直线l必过定点

B.直线l与圆C可能相离

C.直线l与圆C可能相切

D.当a=1时,直线l被圆C截得的弦长为

答案:AC

解析:对于A,由(1+a)x+y+1=0可得ax+x+y+1=0,由

所以直线l过定点(0,-1),A正确;对于B,因为直线l过定点(0,-1),而点(0,-1)在圆C:x2+y2=1上,所以直线l与圆C不可能相离,但可能相切,B错误,C正确;对于D,当a=1时,直线l的方程为2x+y+1=0.设圆心C到直线l的距离为d,则d=,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2=2×,D错误,故选AC.

7.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=　　　　　. 

答案:4±

解析:由点到直线的距离公式得圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为.

因为△ABC为等边三角形,

所以|AB|=|BC|=2,

所以+12=22,解得a=4±.

8.已知一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为　　　　　. 

答案:-或-

解析:点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定经过点(2,-3).显然反射光线所在直线的斜率存在且不为0.设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,得圆心(-3,2)到直线kx-y-2k-3=0的距离为半径,即=1,解得k=-或k=-.

9.由直线y=x+1上的一点向圆x2-6x+y2+8=0引切线,则切线长的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:易知直线与圆相离,当直线y=x+1上的点与圆心的距离最小时,由该点所引圆的切线长最小.由圆的一般方程得圆心坐标为(3,0),则圆心(3,0)到直线x-y+1=0的距离d==2,又圆的半径为1,故切线长的最小值为.

10.已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线l1被圆C所截得的弦的中点为P(5,3).

(1)求直线l1的方程;

(2)若直线l2:x+y+b=0与圆C相交,求实数b的取值范围.

解:(1)因为圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=9,

所以圆心C(3,2).

由题意可知,l1⊥PC,且直线PC的斜率kPC=,

所以直线l1的斜率k1=-2,所以直线l1的方程为y-3=-2(x-5),即2x+y-13=0.

(2)因为圆C的半径r=3,所以要使直线l2与圆C相交,

则圆心C到直线l2的距离d=<3,

即|b+5|<3,解得-3-5<b<3-5,故b的取值范围是(-3-5,3-5).

11.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2=0相切.

(1)求圆O的方程;

(2)过点的直线l被圆O所截得的弦长为2,求直线l的方程.

解:(1)∵直线x-y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴圆心O(0,0)到直线x-y+2=0的距离等于圆的半径r,即=r,即r=2.

∴圆O的方程为x2+y2=4.

(2)当直线l的斜率不存在时,则直线l的方程为x=1,此时直线l被圆O所截得的弦长为2,符合题意.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.

由直线l被圆O所截得的弦长为2,圆O的半径r=2,得圆心O到直线l的距离d==1,即=1,解得k=-.

故直线l的方程为-x-y+=0,即x+y-2=0.

综上所述,直线l的方程为x+y-2=0或x=1.

能力提升

1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限.

由题意可设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.

由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,

即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,

所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),

当圆心的坐标为(1,1)时,圆心到直线2x-y-3=0的距离d1=;

当圆心的坐标为(5,5)时,圆心到直线2x-y-3=0的距离d2=.

所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为.

2.直线x+7y-5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　)

A. B. C.π D.

答案:C

解析:由点到直线的距离公式得圆心(0,0)到直线x+7y-5=0的距离d=.

又圆的半径r=1,∴直线x+7y-5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为,∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°,∴被截得的两段弧长之比为3∶1,

∴两段弧长之差的绝对值是×2π-×2π=π.

3.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上,且到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:C

解析:由圆的方程x2+y2+2x+4y-3=0可得,圆心为(-1,-2),半径r=2,而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离d=,故圆上有3个点满足题意.

4.(多选题)已知直线l:(m+2)x+(2m-1)y-3m-1=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=16交于A,B两点,则弦长|AB|可能的取值是(　　)

A.6 B.7 C.8 D.5

答案:BC

解析:由(m+2)x+(2m-1)y-3m-1=0,得(x+2y-3)m+2x-y-1=0,

令解得故直线l恒过点M(1,1).

因为圆心C(2,1),半径r=4,所以|CM|=,

则2≤|AB|≤2r,即2≤|AB|≤8,故选BC.

5.若过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　　　　　. 

答案:

解析:由题意可得,圆心(2,0)到直线l的距离d≤1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,圆心(2,0)到直线l的距离为2,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,于是有≤1,解得-≤k≤.

故直线l的斜率的取值范围为.

6.已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过点A,B分别作直线l的垂线与x轴分别交于C,D两点,则|CD|=　　　　　. 

答案:4

解析:如图所示,∵直线AB的方程为x-y+6=0,

∴直线AB的斜率kAB=,

∴∠BPD=30°,

从而∠BDP=60°.

在Rt△BOD中,∵|OB|=2,∴|OD|=2.

取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB,

∴OH为直角梯形ABDC的中位线,

∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4.

7.已知圆C:x2+y2=4.

(1)若圆C与直线l:x-my+3m-2=0相切,求m的值;

(2)已知点M(1,0),过点P作圆C的切线,切点为Q,再过P作圆C':(x-1)2+(y-1)2=12的切线,切点为R.若|PQ|=|PR|,求|MP|的最小值.

解:(1)圆C:x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径为2,

因为圆C与直线l:x-my+3m-2=0相切,

所以圆心C到直线l的距离d==2,

解得m=0或m=.

(2)圆C:x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径为2;

圆C':(x-1)2+(y-1)2=12的圆心为C'(1,1),半径为2.

设点P(x,y),由题意可得|PQ|=,

|PR|=.

因为|PQ|=|PR|,所以,整理得x+y+3=0.

因为点C(0,0)到直线x+y+3=0的距离为>1,所以直线x+y+3=0与圆C相离;

因为点C'(1,1)到直线x+y+3=0的距离为>2,所以直线x+y+3=0与圆C'相离.

所以点P的轨迹方程为x+y+3=0.因此|MP|的最小值即为点M到直线x+y+3=0的距离,

即|MP|min==2.