数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程巩固练习

2.5.2　圆与圆的位置关系

课后·训练提升

基础巩固

1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是(　　)

A.外切 B.内切 

C.相交 D.外离

答案:B

解析:将圆的方程x2+y2-14x-2y+14=0化为标准方程为(x-7)2+(y-1)2=36,得圆心坐标为(7,1),半径r1=6.圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径r2=1,故圆心距d==5=6-1=r1-r2,故两圆内切.

2.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为(　　)

A.2 B.-5

C.2或-5 D.不确定

答案:C

解析:两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2,

由题意得=3+2,

解得m=2或m=-5.

3.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是(　　)

A.内切

B.相交

C.内切或内含

D.外切或外离

答案:D

解析:由题意得两圆的圆心距

d=,

两圆的半径之和为r+4,因为<r+4,

所以两圆不可能外切或外离.

故选D.

4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则(　　)

A.E=-4,F=8

B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8

D.E=4,F=8

答案:C

解析:联立方程组

②-①可得4x+Ey-F-4=0,

即x+y-=0.

由两圆的公共弦所在直线的方程为x-y+1=0,

得解得

5.若圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是(　　)

A.r<+1 B.r>+1

C.|r-|≤1 D.|r-|<1

答案:C

解析:圆的方程x2+y2+2x-4y+4=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1,

两圆圆心距为.

∵两圆有公共点,

∴|r-1|≤≤r+1,

∴-1≤r≤+1,

∴-1≤r-≤1,即|r-|≤1.

6.点A(2,0)到直线l的距离为1,且直线l与圆C:(x+2)2+(y-3)2=r2(r>0)相切.若这样的直线l有四条,则r的取值范围是(　　)

A.(0,2) B.(0,3) 

C.(0,4) D.(0,5)

答案:C

解析:因为点A(2,0)到直线l的距离为1,所以直线l与圆A:(x-2)2+y2=1相切.因为直线l与圆A,圆C都相切且这样的直线l有四条,所以圆C与圆A外离,圆心距大于半径之和,即|AC|==5>r+1,解得r<4,故选C.

7.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　. 

答案:3

解析:由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,

∴kAB×1=-1,

即=-1,得m=5,

∴线段AB的中点坐标为(3,1).

又线段AB的中点在直线x-y+c=0上,

∴3-1+c=0,∴c=-2,

∴m+c=5-2=3.

8.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为　　　　　. 

答案:2

解析:圆C1和圆C2的标准方程为(x-1)2+y2=9,(x+1)2+(y-2)2=9.由题意得,圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,所以点C1(1,0)到直线l的距离d=,圆C1的半径r1=3,所以圆C1与圆C2的公共弦长为2=2=2.

9.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为　　　　　　　;过两圆交点,且面积最小的圆的方程为　　　　　　　. 

答案:x+y-2=0　(x-1)2+(y-1)2=8

解析:设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是过点A,B且面积最小的圆.两圆方程相减可得直线AB的方程为x+y-2=0.

直线MN的方程为x-y=0.

解方程组得所求面积最小的圆的圆心坐标为(1,1).

圆心M(0,0)到直线AB的距离d=,

则弦AB的长|AB|=2=4,

所以所求圆的半径为2.

所以所求面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.

10.求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程.

解:将圆C的方程化为标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0),半径为1.

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

由题意可知

解得

故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.

能力提升

1.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是(　　)

A.5 B.1

C.3-5 D.3+5

答案:C

解析:圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0化为标准方程即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2),半径r1=3,圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0化为标准方程即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),半径r2=2,圆心距d==3>3+2=5,两圆相离,故|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3-5.

2.若半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是(　　)

A.(x-4)2+(y-6)2=6

B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6

C.(x-4)2+(y-6)2=36

D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36

答案:D

解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36.圆心距为=6-1=5,解得a=±4,故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=36或(x+4)2+(y-6)2=36.

3.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,若点P为圆O1上的动点,点Q为圆O2上的动点,则有(　　)

A.公共弦AB的长为

B.|PQ|的最大值为2+1

C.圆O2上到直线AB距离等于的点有3个

D.点P到直线AB的距离的最大值为+1

答案:BD

解析:由题设,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为x-y=0,与圆O1的方程联立并整理可得x(x-1)=0,解得x=0或x=1.令点A(0,0),B(1,1),故|AB|=,A错误;

又圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心O1(1,0),O2(-1,2)且半径分别为r1=1,r2=,所以|O1O2|=2,|PQ|最大时即为|O1O2|+r1+r2=2+1,B正确;

因为点O2到直线AB:x-y=0的距离d2=,而r2-d2=,所以圆O2上到直线AB的距离等于的点有2个,C错误;

由O1到直线AB:x-y=0的距离d1=,则P到直线AB距离的最大值为r1+d1=1+,D正确.故选BD.

4.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)

A.2x-y-1=0 

B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 

D.2x+y+1=0

答案:D

解析:圆M的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4,点M到直线l的距离d=>2,所以直线l与圆M相离.

由圆的知识可知,A,P,B,M四点共圆,且AB⊥MP,

所以|PM|·|AB|=4S△PAM=4××|PA|×|AM|=4|PA|,而|PA|=,

当直线MP⊥l时,|PM|取得最小值,且最小值为,此时|PA|取得最小值1,|PM|·|AB|取得最小值4,此时直线MP的方程为y-1=(x-1),即y=x+,

由

解得即P(-1,0).

所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+1)+y(y-1)=0,即x2+y2-y-1=0,①

圆M的方程与①中的方程相减得2x+y+1=0,即为直线AB的方程.

5.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长为　　　　　. 

答案:4

解析:连接OO1,记AB与OO1的交点为C,如图所示.

在Rt△OO1A中,|OA|=,|O1A|=2,

∴|OO1|=5,∴|AC|==2,

∴|AB|=4.

6.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).

(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;

(2)若圆O1与圆O2交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.

解:(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1,r2,

∵两圆外切,

∴|O1O2|=r1+r2,

∴r2=|O1O2|-r1=-2=2(-1),

∴圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.

(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=.

已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+-8=0.

作O1H⊥AB交AB于点H,

则|AH|=|AB|=,|O1H|=.

从而圆心O1(0,-1)到公共弦AB所在直线的距离,

解得=4或=20.

故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

7.已知圆O:x2+y2=4和圆C:x2+(y-4)2=1.

(1)判断圆O和圆C的位置关系.

(2)过圆C的圆心C作圆O的切线l,求切线l的方程.

(3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A,B两点.

试问:在以线段AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M(2,0)?若存在,求出圆P的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)因为圆O的圆心O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心C(0,4),半径r2=1,

所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4-0|>r1+r2=3,所以圆O与圆C外离.

(2)由题意设切线l的方程为y=k1x+4,

即k1x-y+4=0,

则点O到直线l的距离d==2,

解得k1=±.

所以切线l的方程为x-y+4=0或x+y-4=0.

(3)当直线m的斜率不存在时,直线m经过圆C的圆心,此时直线m与圆O的交点为点A(0,2),B(0,-2),线段AB即为圆O的直径,而点M(2,0)在圆O上,即圆O也是满足题意的圆.

当直线m的斜率存在时,设直线m:y=kx+4,

由

消去y整理得(1+k2)x2+8kx+12=0,

由Δ=64k2-48(1+k2)>0,

解得k>或k<-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则有①

于是y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=,②

y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=,③

若存在以线段AB为直径的圆P经过点M(2,0),则=0,

所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,

即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,

则+4+=0,

所以16k+32=0,则k=-2,满足题意.

此时以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,

即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,

即x2+y2-x-y+=0.

综上,在以线段AB为直径的所有圆中,存在圆P:x2+y2-x-y+=0或x2+y2=4,使得圆P经过点M(2,0).