高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线练习

3.2.2　双曲线的简单几何性质

课后·训练提升

基础巩固

1.(多选题)下列双曲线中,以直线2x±3y=0为渐近线的是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案:ABD

解析:C项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0,而A,B,D项中的双曲线的渐近线均为直线2x±3y=0.故选ABD.

2.一个焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案:A

解析:由题意设双曲线方程为-y2=t(t<0),则-=1,所以由双曲线的几何性质可得2t+t=-36,得t=-12,故所求双曲线的方程为=1.

3.已知双曲线x2+my2=1的虚轴长为实轴长的4倍,则m的值等于(　　)

A.-4 B.-

C.-16 D.-

答案:D

解析:双曲线方程化为x2-=1,因此a2=1,b2=-,实轴长2a=2,虚轴长2b=2,依题意有2=8,解得m=-.

4.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是双曲线C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

答案:A

解析:∵,∴c=a,

根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a,|PF1|·|PF2|=4,即|PF1|·|PF2|=8,

∵F1P⊥F2P,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,

∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,

∴a2-5a2+4=0,解得a=1(负值舍去).故选A.

5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(-2,0)到渐近线的距离等于(　　)

A.3 B. C.2 D.6

答案:A

解析:不妨设渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,则点(-2,0)到渐近线的距离d=.

又因为e==2,所以=4,则b2=3a2=c2,即b=c,所以d=3.

6.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

答案:A

解析:依题意,椭圆=1(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)即=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得a2-b2=a2+b2,即a2=3b2,所以,

则,故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.

7.若直线l经过点(2,0),且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).

联立消去y,整理得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0,

当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点.

当1-k2≠0时,由Δ=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,k无解,所以符合要求的直线只有2条.

8.已知直线y=x+1与双曲线=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率等于(　　)

A. B.

C.2 D.

答案:B

解析:由已知得M(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),

则=1,=1,

两式相减得,变形整理得,

设直线AB、直线OM的斜率分别为kAB,kOM,

则kAB·kOM=,而kAB=1,kOM=2,

所以=2,故e=.

9.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为　　　　　. 

答案:

解析:由双曲线方程=1(a>0,b>0)可得其焦点在x轴上,

因为其一条渐近线为y=x,所以,所以e=.

10.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线l,直线l与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

答案:3

解析:由题意知,双曲线的左焦点为F1(-2,0),所以直线l的方程为y=(x+2),

由得8x2-4x-13=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,故|AB|==3.

11.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且.

(1)求双曲线C的方程;

(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.

解:(1)由题意得解得

所以b2=c2-a2=2,

所以双曲线C的方程为x2-=1.

(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).

由得x2-2mx-m2-2=0,

则Δ=8m2+8>0,

所以x0==m,y0=x0+m=2m.

因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,

所以m2+(2m)2=5,故m=±1.

能力提升

1.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,点P在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为(　　)

A.6 B.6 C.3 D.3

答案:C

解析:双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,由于一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,可得=2,即b=2a,由双曲线的定义可得2a=|PF1|-|PF2|=3,可得a=,于是b=3,因而c=,故焦距2c=3.

2.设F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1∶6,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.2x±y=0 B.x±2y=0

C.x±3y=0 D.3x±y=0

答案:B

解析:双曲线C的右焦点F(c,0)到渐近线y=x即bx-ay=0的距离d==b(同理可得,右焦点F到渐近线y=-x的距离也为b),因为点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1∶6,所以,即c=3b,则c2=a2+b2=9b2,即a2=8b2,于是a=2b,故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x,即x±2y=0.

3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率e=,对称中心为O,右焦点为F,A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,且∠AOF=∠OAF,△OAF的面积为3,则双曲线C的方程为(　　)

A.=1 B.-y2=1

C.=1 D.=1

答案:C

解析:依题意e2==1+,所以.由点F向渐近线OA作垂线,设垂足为M,则|FM|=b,|OM|=a,于是S△OAF=·|OA|·|FM|=·2a·b=3,因而a=3,b=,故双曲线C的方程为=1.

4.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则双曲线C的焦距的最小值为(　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

答案:B

解析:∵双曲线C:=1(a>0,b>0),

∴双曲线C的渐近线方程是y=±x.

∵直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,不妨设D在第一象限,E在第四象限,

联立解得故D(a,b).

联立解得故E(a,-b).

∴|ED|=2b.

∴△ODE的面积S△ODE=a×2b=ab=8.

∵双曲线C:=1(a>0,b>0),

∴其焦距2c=2≥2=2=8,

当且仅当a=b=2时取等号.

∴双曲线C的焦距的最小值为8.

5.(多选题)若直线y=2x与双曲线=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值可以为(　　)

A.2 B. 

C. D.3

答案:CD

解析:依题意应有>2,所以>4,所以e>,即离心率的取值范围是(,+∞),

因此离心率可以取值为,3,故选CD.

6.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则双曲线C的离心率为　　　　　. 

答案:2

解析:联立解得

所以|BF|=.

依题可得,=3,|AF|=c-a,

即=3,得c+a=3a,即c=2a,因此,双曲线C的离心率为2.

7.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使=e,则的值为　　　　　. 

答案:2

解析:由题意可得,a=1,c=2.因为=e,所以由正弦定理得=e=2,所以||-||=2.于是||=4,||=2,又||=2c=4,所以根据余弦定理可得cos∠PF2F1=,故=||·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.

8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程;

(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为2,求直线l的方程.

解:(1)由已知c=2及点P(3,)在双曲线C上,

得

解得a2=2,b2=2,

故双曲线C的方程为=1.

(2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,

由

得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)

设E(x1,y1),F(x2,y2),

则x1,x2是方程(*)的两个不等实根,

于是1-k2≠0,且Δ=16k2+24(1-k2)>0,得k2<3,且k2≠1.①

此时x1+x2=,x1x2=-.

又S△OEF=|OQ|·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=2,

即(x1+x2)2-4x1x2=8,

所以=8,

解得k=±,适合①式,

故直线l的方程为y=x+2或y=-x+2.