广西专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程过关检测B卷新人教版选择性必修第一册

第三章过关检测(B卷)

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.椭圆2x2+y2=8的长轴长为(　　)

A.2 B.4

C.2 D.4

答案:D

解析:椭圆方程可化为=1,因此a2=8,a=2,故长轴长2a=4.

2.若抛物线的准线与坐标轴的交点是,则抛物线的标准方程为(　　)

A.x2=-2y B.x2=2y

C.y2=2x D.y2=-2x

答案:B

解析:依题意抛物线的准线方程为y=-,则抛物线开口向上,,2p=2,故抛物线的标准方程为x2=2y.

3.已知椭圆=1与双曲线y2-=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(　　)

A.48 B.24

C.24 D.12

答案:B

解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得解得

又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×6×8=24.

4.已知A(3,4)是双曲线C:=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若以F1F2为直径的圆经过点A,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B.2

C. D.5

答案:C

解析:由已知得AF1⊥AF2,则|F1F2|=2|AO|=10,

于是c=5,又|AF1|-|AF2|==2a,

所以a=,

所以双曲线C的离心率e=.

5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=8,则p的值为(　　)

A.4 B.

C.1 D.2

答案:D

解析:设直线AB的方程为y=x-,

由得x2-3px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=,

由于|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=2p2=8,

因此p2=4,故p=2或p=-2(舍去).

6.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

答案:C

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立

消去x,得a2y2-2b2py+a2b2=0,则y1+y2=.

因为|AF|+|BF|=4|OF|,所以y1++y2+=4×,即y1+y2=p,于是=p,

因而,故双曲线的渐近线方程为y=±x.

7.若抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线的准线与x轴相交于点K,P为抛物线上一点,且∠KFP=,则△KFP的面积为(　　)

A.8 B.4

C.2 D.或2

答案:C

解析:如图,不妨设P为第一象限内的点,|PF|=2m(m>0),则P(1+m,m),

所以(m)2=4(1+m),解得m=2.

在△PKF中,|KF|=2,|PF|=4,∠PFK=,

故S△PKF=·|PF|·|KF|·sin×4×2×=2.

8.设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方,且满足|AF1|=3|F1B|,cos ∠AF2B=,则点A位于(　　)

A.第一象限

B.第二象限

C.y轴上

D.都有可能

答案:C

解析:设|BF1|=k(k>0),则|AF1|=3k.

由椭圆的定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,|AB|=4k,在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,

即16k2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2(2a-3k)·(2a-k)·,整理可得a=3k,所以|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,于是有|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,即AF2⊥AB,即F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形,所以点A在y轴上.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若方程=1所表示的曲线为C,则下面说法正确的是(　　)

A.若C为椭圆,则1<t<3

B.若C为双曲线,则t>3或t<1

C.曲线C可能是圆

D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1<t<2

答案:BC

解析:当3-t=t-1>0,即t=2时,方程表示圆,因此A错误,C正确;当(3-t)(t-1)<0,即t>3或t<1时方程表示双曲线,因此B正确;方程表示长轴在y轴上的椭圆时,有t-1>3-t>0,即2<t<3,因此D错误,故选BC.

10.已知曲线C:x4+=1,则(　　)

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C有4个顶点

C.曲线C的面积小于椭圆x2+=1的面积

D.曲线C的面积大于圆x2+y2=1的面积

答案:ABD

解析:用-x替换x,化简后式子不变,则曲线C关于y轴对称;用-y替换y,化简后式子不变,则曲线C关于x轴对称;用-x,-y分别替换x,y,化简后式子仍不变,则曲线C关于原点对称,曲线C仅有两条对称轴,易求两条对称轴与曲线C的交点分别为(±1,0),(0,±2),故曲线C有4个顶点,故AB正确;易知曲线C中x的范围为[-1,1],所以|y|=2≥2,故椭圆上的点在曲线C内部或在曲线C上,故椭圆的面积小于曲线C的面积,同理曲线C的面积大于圆的面积,故C错误,D正确.故选ABD.

11.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则(　　)

A.双曲线的离心率为

B.双曲线的渐近线方程为y=±x

C.∠PAF2=45°

D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点

答案:ABD

解析:依题意得,|PF1|-|PF2|=2a,

又|PF1|=2|PF2|,

∴|PF2|=2a,从而|PF1|=4a.

∵|F1F2|=2c,a<c,∴在△PF1F2中,PF2是最小边,因此∠PF1F2=30°.

∴4a2=4c2+16a2-2×2c×4a×,

即c2-2ac+(a)2=0⇒(c-a)2=0,

∴c=a,从而b=a.因此e=,A正确;渐近线方程为y=±x=±x,B正确;

∵|PF2|2+|F1F2|2=(2a)2+(2a)2=16a2=|PF1|2,∴∠PF2F1=90°.

而|PF2|=2a,|AF2|=a+c=a+a≠|PF2|,

∴∠PAF2≠45°,C错误;直线y=-x+1的斜率-∈[-],因此直线与双曲线有两个公共点,D正确.

故选ABD.

12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,若直线l与抛物线C交于点A,B(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)

A.p=2 B.F为AD中点

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2

答案:ABC

解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),如图,F,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=,

联立得12x2-20px+3p2=0,

解得xA=p,xB=p.

由|AF|=p+=2p=4,得p=2,故A正确;

抛物线方程为y2=4x.

xB=p=,则|BF|=+1=,故D错误;

|BD|=,

∴|BD|=2|BF|,故C正确;

|BD|+|BF|==4=|AF|,则F为AD的中点,故B正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.椭圆9x2+y2=1的短轴的一个端点到其焦点的距离等于　　　　　. 

答案:1

解析:椭圆方程化为=1,则a=1,于是短轴的一个端点到其焦点的距离等于1.

14.已知双曲线=1(a>0,b>0)与方向向量为k=(6,6)的直线交于A,B两点,线段AB的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是　　　　　　　　. 

答案:y=±x

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

则=1,且=1,于是,

因为直线AB的方向向量为k=(6,6),所以直线AB的斜率kAB=1,所以=1,即,

故双曲线的渐近线方程为y=±x.

15.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p=　　　　　,△MNF的面积为　　　　　. 

答案:4　8

解析:由抛物线的焦点为F(2,0),得=2,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x.

设抛物线的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),过点M作MQ⊥l,垂足为Q,过点F作FH⊥MQ,垂足为H.

∵∠MFO=120°,∴∠MFH=30°,

∴|MF|-p=|MF|⇒|MF|=8,从而|HF|=4.

∴S△MNF=|NF|×|HF|=8.

16.已知F1,F2是椭圆=1(a>)的左、右焦点,点P是椭圆上任意一点,以PF1为直径作圆N,直线ON与圆N交于点Q(点Q不在椭圆内部),则=　　　　　　. 

答案:3

解析:连接QF1,QF2,PF2,设椭圆的半焦距为c,短半轴长为b,=()·()==(|QN|+|NO|)2-c2=2-c2=a2-c2=b2=3.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过点P(),且离心率为2,过右焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为M,N.

(1)求双曲线C的方程;

(2)求四边形OMFN的面积(O为坐标原点).

解:(1)因为e=2,所以3a2=b2.

设双曲线C的方程为=1,

因为双曲线C过点P(),

所以=1,解得a2=1,

故双曲线C的方程为x2-=1.

(2)由(1)可得,右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x,则右焦点F到渐近线y=±x的距离均为d=,在Rt△OMF中,∠OMF=90°,|OF|=2,|MF|=,则|OM|=1,

所以S四边形OMFN=2S△OMF=2=1×.

18.(12分)如图所示,有一位运动员练习定点投篮,球运行的线路是一段抛物线,已知篮圈距离地面3.05 m,球出手时球与篮圈的水平距离为4 m,当球运行的水平距离为2.5 m时,球达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈内,假设球与篮圈大小忽略不计.

(1)试求球运行线路所在抛物线的标准方程.

(2)球出手时,球离开地面的高度是多少?

解:如图,以O为原点,建立平面直角坐标系.

(1)由题意得A(1.5,-0.45),设抛物线的方程为x2=my(m<0),

则1.52=m·(-0.45),得m=-5,

所以抛物线的方程为x2=-5y.

(2)由题意设球出手时的坐标为(-2.5,n),

代入抛物线的方程可得(-2.5)2=-5n,解得n=-1.25,

所以球出手时,球离地面的高度为3.5-1.25=2.25(m).

19.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过(2,0)点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于E,F两点,O为坐标原点,若∠EOF为直角,求直线l的斜率.

解:(1)由题意知,椭圆C焦点在x轴上,且e=,a=2,所以c=,

又b2=a2-c2,所以b2=1,

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)依题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,

联立得(1+4k2)x2+32kx+60=0,

则Δ=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240,

令Δ>0,解得k2>.

设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=,

因为∠EOF=90°,所以=0,即x1x2+y1y2=0,

所以(1+k2)·x1x2+4k(x1+x2)+16=0,

所以+4=0,

解得k=±,故直线l的斜率为±.

20.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P(,1).

(1)求椭圆C的方程;

(2)若A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,动点M满足MA2⊥A1A2,且MA1交椭圆C于不同于A1的点R,求证:为定值.

(1)解:由题意得=1,

又e=,所以a2=4,b2=2.

故椭圆C的方程为=1.

(2)证明:由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),由题意设M(2,y0),R(x1,y1),易知直线MA1的方程为y=x+,联立消去y,得x2+x+-4=0.

所以(-2)×x1=,解得x1=,从而y1=,

所以·(2,y0)==4,

即为定值.

21.(12分)已知椭圆M的中心在坐标原点,焦点在x轴上,焦距为4,且两准线间的距离为.

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)过椭圆M的上顶点A作两条直线分别交椭圆于点B,C(异于点A),且它们的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-,求证:直线BC恒过一个定点,并求出该定点坐标.

(1)解:由题意得

解得a=4,c=2.

又因为a2=b2+c2,所以b=2.

因为焦点在x轴上,所以椭圆M的方程为=1.

(2)证明:由题意得,椭圆M的上顶点为A(0,2),不妨令直线AB的斜率为k1,则直线AB的方程为y=k1x+2,与椭圆M的方程联立,得方程组

消去y,得(1+4)x2+16k1x=0,

又xB≠0,所以xB=,

所以yB=.

同理可得xC=,yC=,

又k1k2=-,所以k2=-,分别代入xC,yC,

得xC=,yC=,

所以xB+xC=0,yB+yC=0,

所以点B,C关于原点对称.

即无论直线AB的斜率k1取何值,直线BC恒过原点.

所以直线BC恒过一个定点,定点坐标为(0,0).

22.(12分)已知点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x=4距离的比是常数.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)记点P的轨迹为C,过点F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求的取值范围.

解:(1)依题意有,

化简得3x2+4y2=12,故点P的轨迹方程为=1.

(2)依题意,

①当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),

联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,|AB|=x1+x2+2=;

联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),

则x3+x4=,x3x4=,

|MN|=,

则.

②当直线l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|=3,此时.

综上,的取值范围是.