数学选择性必修 第二册4.3 等比数列教课内容ppt课件

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1.探索并掌握等比数列的前n项和公式,提升逻辑推理素养.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,并能联用两个公式解决“知三求二”的问题,提升数学运算素养.3.会用错位相减法求数列的前n项和,提升数学运算素养.4.掌握等比数列的前n项和的性质的应用,提升逻辑推理和数学运算素养.
1.等比数列的前n项和公式
微训练(1)已知等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是(　　)A.179B.211C.243D.275答案:B解析:设等比数列{an}的公比为q,
(2)在等比数列{an}中,若公比q=-2,S5=44,则a1的值为(　　)A.4B.-4C.2D.-2答案:A
2.错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地,等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则数列{an}的前n项和可写为:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①用公比q乘①的两边,可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②由①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,
(2)我们把上述方法叫　错位相减法　,一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且q≠1. 微思考 对于S64=1+2+4+8+…+262+263,用2乘等式的两边可得2S64=2+4+8+…+262+263+264,对这两个式子作怎样的运算能解出S64?提示:比较两式易知,两式相减能消去同类项,解出S64,
3.等比数列前n项和的性质
一 等比数列前n项和公式的基本运算
典例剖析1.在等比数列{an}中,公比为q.(1)若a1=1,a5=16,且q>0,求S7;(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
规律总结 在等比数列{an}的前n项和公式中共涉及五个量a1,q,an,n,Sn,其中a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
学以致用1.在等比数列{an}中,公比为q.(1)若S2=30,S3=155,求Sn;(2)若a1+a3=10,a4+a6= ,求S5;(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
二 利用错位相减法求数列的前n项和
典例剖析2.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0,已知a1=b1=2,b2=a2,b3=a2+4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;
互动探究(变条件)本例题(2)中设cn= anbn,求数列{cn}的前n项和Sn'.解:由题意知cn=n·2n,则S'n=1×21+2×22+3×23+…+(n-2)×2n-2+(n-1)×2n-1 +n×2n,2S'n=1×22+2×23+3×24+…+(n-2)×2n-1+(n-1)×2n+n×2n+1,两式相减,得-S'n=1×21+22+23+24+…+2n-1+2n-n×2n+1
规律总结 错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围:它主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.(2)注意事项:①利用错位相减法写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错位对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.
学以致用2.已知数列{an}是首项、公比都为5的等比数列,bn=anlg25an (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
三 等比数列的前n项和的性质
典例剖析3.(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7,S6=91,则S4等于(　　)A.28B.32C.21D.28或-21(2)在等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80= .(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　　　. 
解析:(1)∵{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,即7,S4-7,91-S4成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,∴S4=28.
规律总结 等比数列的前n项和的重要性质(1)等比数列{an}的前n项和Sn,满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n, …成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0),这一性质可直接应用.
学以致用3.若等比数列{an}的公比为 ,且a1+a3+a5+…+a99=60,则数列{an}的前100项和为　　　　　. 答案:80解析:令X=a1+a3+a5+…+a99=60,Y=a2+a4+a6+…+a100,则S100=X+Y,由等比数列的前n项和性质,
4.已知等比数列{an}的各项都为正数,Sn=2,S3n=14,求S4n的值.解:设S2n=x,S4n=y,则2,x-2,14-x,y-14成等比数列,
1.在等比数列{an}中,若a1=2,a2=1,则S100等于(　　)A.4-2100B.4+2100C.4-2-98D.4-2-100答案:C解析:设等比数列{an}的公比为q.
答案:D解析:∵Sn=2n-1,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.
4.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　　. 答案:2解析:由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,