广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列章末核心素养整合课件新人教版选择性必修第二册

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章末核心素养整合专题归纳突破知识体系构建知识体系构建专题归纳突破专题一 等差(比)数列的基本运算在等比数列和等差数列中,通项公式和前n项和公式Sn共涉及五个量:a1,an,n,q(d),Sn,其中首项a1和公比q(公差d)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,an,n,q(d),Sn的方程组,通过方程的思想解出要求的量.【典型例题1】在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,故an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.设等差数列{bn}的公差为d,规律方法 在等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式Sn中,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.专题二 求数列的通项公式数列通项公式的求法有:定义法、已知Sn求an法、递推公式法,可以通过递推公式采用累加法、累乘法和构造新数列法进行求解.【典型例题2】(1)已知等比数列{an}为递增数列,且 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列的通项公式an=(　　)答案:A (2)已知数列{an}中,an+1=3an+4,且a1=1,求数列{an}的通项公式.解:(方法一)由题意得an=3an-1+4=3(3an-2+4)+4=32an-2+3×4+4=33an-3+32×4+3×4+4=…=3n-1a1+3n-2×4+3n-3×4+…+3×4+4(方法二)∵an+1=3an+4,∴an+1+2=3(an+2).令bn=an+2,∵b1=a1+2=3,∴数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,则bn=3n,∴an=3n-2.(方法三)∵an+1=3an+4,①∴an=3an-1+4(n≥2).②①-②,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).∵a2-a1=3+4-1=6,∴数列{an+1-an}是首项为6,公比为3的等比数列,即an+1-an=6×3n-1=2×3n,利用累加法得an=3n-2.规律方法 1.定义法.直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式,这种方法适用于已知数列类型的题目.2.已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系,则求数列{an}的通项公式可用公式an= 求解.专题三 等差(比)数列的判定等差(比)数列的判定方法有定义法、中项法、通项公式法和前n项和公式法,证明解答题时一般采用定义法和中项法,对于通项公式法和前n项和公式法一般用于填空题和选择题.【典型例题3】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1, Sn+1=4an+2.(1)若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.特别提醒:①前两种方法是判定等差数列、等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差(比)数列,则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.专题四 数列求和我们常用的求和方法有公式法、分组求和法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、并项求和法等,要注意各个方法的注意点和应用要求.规律方法 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和,不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法如下.(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式.(2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.(4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法:例如等差数列前n项和公式的推导.专题五 思想方法专题 2.函数思想数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数.运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列的前n项和公式与二次函数有密切关系,故可用函数的思想来解决数列问题.【典型例题6】已知数列{an},a1=2,an+1= +2an,其中n=1,2,3,….(1)求证:数列{lg(1+an)}是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项公式;规律方法 数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时,当涉及参数取值范围,最值问题或单调性时,均可考虑采用函数的思想解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集,这一特殊性对问题结果可能造成影响.3.转化与化归思想所谓转化思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决问题的一种方法.一般地,总是将复杂的问题转化为简单的问题,将未知的问题转化为已知的问题,例如可以通过递推公式转化求证等差数列或求解通项公式.【典型例题7】已知数列{an}是递增的等差数列,a2=3,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an+2n,求数列{bn}的前n项和Sn;规律方法 由递推公式求通项公式,要求掌握的方法有两种,一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳得出通项公式,然后证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再应用公式求出.