广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用习题课二导数的综合应用课件新人教版选择性必修第二册

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习题课二　导数的综合应用一 导数在不等式中的应用1.不等式的证明问题可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是:构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论.2.不等式恒成立问题若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)=1,且f'(1)·g'(1)=-1,即g(1)=a+1-b=1,g'(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1.解题技巧 利用导数法证明不等式的思路(1)若要证明f(x)>a成立,只需证明f(x)min>a即可.(2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立,基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0.【跟踪训练1】已知函数f(x)= 的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立.命题角度2.利用“f(x)min与g(x)max的大小关系”证明不等式【典型例题2】已知函数f(x)=xln x-ax.(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间(0,+∞)内的最值;(1)解:函数f(x)=xln x-ax的定义域为(0,+∞).当a=-1时,f(x)=xln x+x,f'(x)=ln x+2.解题技巧 1.在不等式的证明中,若无法转化为一个函数的最值问题,则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中,等价转化是关键,此处f(x)min≥g(x)max恒成立,从而f(x)>g(x),但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【跟踪训练2】已知f(x)=-x3+3x-1,g(x)=xln x+ (a≥1).(1)求f(x)的极值;(2)求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).(1)解:依题意,得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f(1)=1.命题角度3.已知不等式恒成立求参数 当0