广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理6.3.2二项式系数的性质课件新人教版选择性必修第三册

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6.3.2　二项式系数的性质课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.学会运用函数观点分析处理二项式系数的性质.2.理解和掌握二项式系数的性质,并能够求解与二项式系数有关的问题.3.通过学习,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知微思考 二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项相同吗?提示:系数最大的项不一定是二项式系数最大的项,只有当二项式系数与各项系数相等时,两者才一致.答案:4,5 课堂·重难突破一 求展开式的系数和典例剖析1.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:(1)a5;(2)a0+a1+a2+…+a5;(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(4)a1+a3+a5;(5)a0+a2+a4.互动探究(变问法)求:(1)a1+a2+a3+a4+a5;(2)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.解:(1)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(2)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.规律总结 1.解决二项式系数和问题的思维流程. 2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),a0=f(0),学以致用1.在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.二 求展开式中系数或二项式系数最大的项典例剖析2.已知( +3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1,则展开式的各项系数的和为(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数和为2n,由题意知,4n-2n=992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5.规律总结 1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.2.展开式中系数的最大项的求法,求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第(k+1)项最大,应用 解出k,即得出系数的最大项.学以致用2.在(x-y)11的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项.解:(1)二项式系数最大的项为中间两项:三 整除及余数问题典例剖析 3.(1)用二项式定理证明:1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余数.前91项均能被100整除,后两项和为-919.因为余数为正,所以可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,故9192被100除可得余数为81.规律总结 利用二项式定理可以解决余数和整除问题.通常需要将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.整除问题或余数问题的处理方法:(1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式.(2)用二项式定理处理这类问题时,通常把被除数的底数写成除数(或与除数有密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了.学以致用3.设a∈Z,且0≤a≤13,若512 021+a能被13整除,则a=(　　)A.0 B.1 C.11 D.12答案:B随堂训练1.在(a+b)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则n=(　　)A.4 B.5 C.6 D.7答案:C解析:在(a+b)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式共有7项,即n=6,故选C.2.5555除以8,所得余数是(　　)A.7 B.1 C.0 D.-1答案:A展开式中含有56的因式能被8整除.当不能被8整除,即k=55时,为(-1)55=-1.因为余数要为正数,所以加8,得-1+8=7.故选A.3.(多选题)已知 (a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　)A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15项的系数为45答案:BCD5.( -x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2的值为　　　　　. 答案:1解析:∵(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2=[(a0+a2+a4+…+a10)+(a1+a3+a5+…+a9)]×[(a0+a2+a4+…+a10)-(a1+a3+a5+…+a9)],∴令x=1,则a0+a1+a2+…+a10=[(a0+a2+a4+…+a10)+(a1+a3+a5+…+a9)]=( -1)10,①6.(1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.