广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理习题课一两个计数原理与排列组合的应用课件新人教版选择性必修第三册

这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理习题课一两个计数原理与排列组合的应用课件新人教版选择性必修第三册，共36页。

第六章　计数原理习题课一　两个计数原理与排列、组合的应用一 两个计数原理的应用1.分类加法计数原理 注:每种方法均能完成任务. 2.分步乘法计数原理 注:两步都完成才算完成任务,缺一不可. 命题角度1:“类中有步”的计数问题【典型例题1】电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次答题中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,则有　　　种不同的结果. 答案:28 800解析:在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的,故要分两类分别计算:第1类,幸运之星在甲箱中先确定,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有30×29×20=17 400种结果;第2类,幸运之星在乙箱中先确定,同理有20×19×30=11 400种结果.因此共有17 400+11 400=28 800种不同的结果.解题技巧 用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示:从A到B算作完成一件事,完成这件事有两类方法,第1类方法中有3步,第2类方法有2步,每步的方法数为mi(i=1,2,3,4,5).因此,完成这件事的方法数为(m1m2m3+m4m5).“类”与“步”可进一步地理解为:“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可.此类问题若不能合理分类,往往会出现多解情况.分类要注意不重不漏.【跟踪训练1】为了应对经济制裁,某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为　　　　　. 答案:182命题角度2:“步中有类”的计数问题【典型例题2】某学校文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念,其中甲不站在队伍的两端,乙、丙两人不相邻,丁必须站在戊的左面(丁、戊两人可以相邻,也可以不相邻),则满足条件的不同站队方式的站法数为　　　　　. 答案:168解析:根据题意,分两步进行分析.第1步,将丁、戊、己三人排好,要求丁必须站在戊的左面,则甲、乙、丙三人有8+48=56种排法.根据分步乘法计数原理,共有3×56=168种不同的排法.解题技巧 用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示:从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为A→D.完成A→D这件事,需要经历三步,即A→B,B→C,C→D.其中B→C这步又分为三类,这就是步中有类.其中mi(i=1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.完成A→D这件事的方法数为m1(m2+m3+m4)m5.【跟踪训练2】如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有(　　)A.11种 B.12种 C.20种 D.21种答案:D解析:根据题意,设5个开关依次为1,2,3,4,5,若电路接通,则开关1,2与3,4,5中都至少有1个接通,分两步完成:第1步:对于开关1,2,共有2×2=4种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有4-1=3种情况;第2步:对于开关3,4,5,共有2×2×2=8种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有8-1=7种情况.根据分步乘法计数原理,电路接通,开关不同的开闭方式有3×7=21种.故选D.二 有限制条件的排列问题排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去安排其他元素或位置.当用直接法比较复杂时,可以用间接法,先不考虑限制条件,算出所有的排列数,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意不重复、不遗漏(去尽).命题角度1:元素“相邻”与“不相邻”问题【典型例题3】某次文艺晚会上共演出了8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目单的排法有多少种?(1)一个唱歌节目作开头,另一个作结尾;(2)两个唱歌节目不相邻;(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.【跟踪训练3】某校举办诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加,且当这3名学生都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(　　)A.720 B.768 C.810 D.816答案:B命题角度2:元素“在”与“不在”问题【典型例题4】甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不能在两端;(2)甲、乙必须在两端;(3)甲不在最左端,乙不在最右端.规律总结 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则:谁特殊谁优先,可以从元素入手也可以从位置入手.(2)方法:从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上;从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.提醒:解题时,或从元素考虑,或从位置考虑,都要贯彻到底.不能一会考虑元素,一会考虑位置,造成分类、分步混乱,导致解题错误.【跟踪训练4】某次演习时,队长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E,F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有(　　)A.240种 B.188种 C.156种 D.120种答案:D根据分类加法计数原理,不同安排方案共有24+72+24=120种.故选D.命题角度3:排列中的定序问题【典型例题5】将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻).则有多少种不同的排列方法?解:5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法.规律总结 有些排列问题中,某些元素前后顺序是确定的(不一定相邻),解决这类问题的基本方法有两种(2)插空法,即m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,再把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.【跟踪训练5】某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友分别演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,而不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有　　　　　种. 答案:720三 排列与组合的综合应用1.排列、组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则,即先选元素后排列,同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类.2.解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略;(2)正难则反,等价转化的策略;(3)相邻问题,捆绑处理的策略;(4)不相邻问题,插空处理的策略;(5)定序问题,除法处理的策略;(6)“小集团”排列问题,先整体后局部的策略;(7)平均分组问题,除法处理的策略;(8)构造模型的策略.【典型例题6】某高校需安排6位应届毕业生到3家企业实习,每家企业至少有1位实习生,并且实习生甲、乙、丙必须去同一家企业实习,则不同的实习安排方式共有(　　)A.12种 B.18种 C.24种 D.36种答案:D解析:因为甲、乙、丙必须去同一家企业实习,则将甲、乙、丙捆绑作为一个整体,则共有4组人需要安排到3家企业实习,将四组人分为3组,则为1,1,2,因为出现重复的一组,规律总结 解排列、组合综合问题的注意点(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.(2)对于有多个限制条件的复杂问题,首先应认真分析每个限制条件,然后考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.(3)涉及平均分组时,要除以平均分组的组数的阶乘.【跟踪训练6】某科室派出4名调研员到3个学校调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少派一名调研员,则不同的分配方案种数为　　　　　. 答案:36