广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课时用空间向量研究直线平面的平行关系课件新人教版选择性必修第一册

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1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时　用空间向量研究直线、平面的平行关系课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.会求平面的法向量.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.4.能用向量方法证明直线、平面的平行关系.5.通过本节课学习,提升学生的数学运算、直观想象的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.空间中点、直线和平面的向量表示 微训练1(1)若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)(2)若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)答案:(1)A　(2)D2.空间中直线、平面的平行 微训练2设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则实数k的值为(　　)A.2 B.-4C.4 D.-2答案:C课堂·重难突破一 求平面的法向量典例剖析1.如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA, QA=AB= PD.(1)求平面ADPQ的法向量;(2)求平面PQC的法向量.解:如图,以D为坐标原点,令DA=1,DA,DP,DC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,令QA=AB=1.(1)因为QA⊥平面ABCD,QA⊂平面ADPQ,所以平面ADPQ⊥平面ABCD.又平面ADPQ∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面ADPQ,令x=1,得y=1,z=2,因此n=(1,1,2),故平面PQC的一个法向量为(1,1,2).(答案不唯一)规律总结求平面法向量的方法(1)直接法:直接发现、找到或证明平面的一条垂线,那么这条垂线的方向向量即为平面的一个法向量.(2)待定系数法:学以致用1.已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),求平面α的一个法向量.二 证明线线平行典例剖析2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为A'B,A'C'的中点.求证:MN∥AD'.证明:如图,以A为原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),D'(0,2,2),M(1,0,1),N(1,1,2),规律总结若两条直线的方向向量共线,则这两条直线平行或重合.因此,利用直线的方向向量证明两条直线平行时,必须指出两条直线不重合.学以致用2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2.点M在BB1上,且BM=2MB1,点S在DD1上,且SD1=2SD,N,R分别为A1D1,BC的中点,求证:MN∥RS.三 证明线面、面面平行典例剖析3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BB1, DD1的中点.求证:FC1∥平面ADE.证明:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),互动探究(变问法)若本例条件不变,证明:平面ADE∥平面B1C1F.规律总结 1.利用空间向量证明线面平行方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.方法二:证明直线的方向向量与平面内某一条直线的方向向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.方法三:先求直线的方向向量,平面的法向量,再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.利用空间向量证明面面平行方法一:证明两个平面的法向量共线.方法二:转化为线面平行,证明一个平面内两条相交直线的方向向量均与另一个平面的法向量垂直,利用面面平行的判定定理得证.方法三:转化为线线平行,证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别与另一个平面内两条相交直线的方向向量共线,利用线面平行与面面平行的判定定理得证.学以致用3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)BD∥平面AMN;(2)平面AMN∥平面EFDB.证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),N(1,0,2),M(2,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),F(0,1,2).因为BD与MN不重合,所以BD∥MN.又BD⊄平面AMN,MN⊂平面AMN,所以BD∥平面AMN.令z=1,则x=2,y=-2.所以n1=(2,-2,1)为平面AMN的一个法向量.同理,n2=(2,-2,1)为平面EFDB的一个法向量.因为n1=n2,又平面AMN与平面EFDB不重合,所以平面AMN∥平面EFDB.随堂训练1.已知两条不重合的直线l1,l2的一个方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是(　　)A.平行 B.相交C.垂直 D.不确定答案:A2.已知直线l的一个方向向量为s=(-1,1,1),平面α的一个法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为(　　)答案:D解析:依题意得,s·n=-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=± .3.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则(　　)A.l∥α B.l⊂αC.l⊥α D.l⊂α或l∥α答案:D4.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则(　　)A.α∥β B.α⊥βC.α与β相交但不垂直 D.以上都不对答案:A5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设E,F分别是AD1,BD的中点.以{a,b,c}为空间的一个基底,则直线EF的一个方向向量为　　　　　.