广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题课件新人教版选择性必修第一册

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1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题第1课时　用空间向量研究距离问题课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.掌握点到直线的距离公式与点到平面的距离公式.2.能用向量方法解决点到直线的距离、点到平面的距离等距离问题,体会向量方法在研究距离问题中的作用.3.通过本节课学习,提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.空间中点到直线的距离如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.微训练1已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　　)答案:A 2.空间中点到平面的距离 答案:A 解析:如图,以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,课堂·重难突破一 求点到直线的距离典例剖析1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),所以直线EF的一个单位方向向量为互动探究1.(变问法)本例其他条件不变,若G为A1D的中点,求直线CG到直线EF的距离.2.(变问法)本例条件不变,若P点在直线EF上,求P点到直线AB的距离的最小值.规律总结 1.向量法求点N到直线l的距离的步骤(1)建系,依据图形先求出直线l的单位方向向量u.2.两平行直线间的距离可转化为点到直线间的距离进行求解.学以致用 答案:A 二 求点到平面的距离典例剖析2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.解:如图,以C为坐标原点,CD,CB,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.由题意可知,G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0),规律总结求点到平面的距离的四步骤 学以致用2.如图,该多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求:(1)BF的长;(2)点C到平面AEC1F的距离.解:如图,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设F(0,0,z).∵四边形AEC1F为平行四边形,三 求直线到平面的距离或两平行平面之间的距离典例剖析3.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形, AB∥CD,且∠ADC=90°,AD=1,CD= ,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离.解:如图,过点C作CF⊥AB于点F,由题意可知,四边形ADCF为矩形,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,因为A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,所以A1B1∥平面ABE,所以直线A1B1到平面ABE的距离即为点A1到平面ABE的距离.设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),互动探究(变问法)本例其他条件不变,若M是BB1的中点,求平面D1MC1到平面ABE的距离.解:如图,建立空间直角坐标系, 因为AB与C1D1不重合,BE与C1M不重合,所以C1D1∥AB,C1M∥BE.因为C1D1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,所以C1D1∥平面ABE,同理C1M∥平面ABE.又C1D1∩C1M=C1,所以平面D1MC1∥平面ABE.所以平面D1MC1到平面ABE的距离即为点C1到平面ABE的距离.由例题解析知,平面ABE的一个法向量n=(1,0,1),规律总结求直线到平面的距离或两平行平面之间的距离,都可以转化为求点到平面的距离.为计算方便,往往选取直线上或平面内比较特殊的点.学以致用3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求平面AB1D1与平面BDC1的距离.解:由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.显然A1C⊥平面AB1D1,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),又A(a,0,0),B(a,a,0),随堂训练1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)答案:A 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为A1B1的中点,则点A到直线BE的距离为(　　)答案:B 解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),E(2,1,2),3.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为　　　　　. 4.底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD, BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为　　　　　. 解析:由题意可知,AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离,且AB,AD,AP两两垂直.5.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.