广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题课件新人教版选择性必修第一册

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1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题第2课时　用空间向量研究夹角问题课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.能用向量方法解决简单的夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的应用.3.通过本节课学习,提升学生的数学运算、逻辑推理和直观想象的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,2.直线与平面所成的角直线与平面相交,设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则微判断 判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两条异面直线所成的角就是两直线的方向向量所成的角.(　　)(2)直线与平面所成的角等于直线方向向量与该平面法向量所成角的余角.(　　)(3)两个平面夹角的大小就是两个平面法向量的夹角的大小.(　　)×××4.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.课堂·重难突破一 求异面直线所成的角典例剖析1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2, A1A=4,点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.解:如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),规律总结利用方向向量求异面直线所成角的基本步骤:(1)根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系;(2)在坐标系中,写出相关各点的坐标,进而表示出相关向量的坐标;(3)代入异面直线所成角的余弦值公式,根据夹角的余弦值,确定角的大小.学以致用1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成的角为60°,试确定动点E的位置.解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0).二 求直线与平面所成的角典例剖析2.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB=BC= 2AD=2,四边形EDCF为矩形,DE=2,平面EDCF⊥平面ABCD.(1)求直线AE与平面BEF所成角的余弦值;(2)若点P在线段EF上,且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为 ,求线段AP的长.解:(1)∵四边形EDCF为矩形,∴DE⊥CD.又平面EDCF⊥平面ABCD,且平面EDCF∩平面ABCD=CD,DE⊂平面EDCF,∴ED⊥平面ABCD.以D为原点,DA所在直线为x轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(如图),则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,2),F(-1,2,2).设平面BEF的法向量n=(x1,y1,z1),规律总结利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤: 学以致用2.如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P-ABCDE中,F为PE的中点,平面ABF与PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.(1)证明:在正方形AMDE中,因为B为AM的中点,所以AB∥DE.又AB⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,所以AB∥平面PDE.又AB⊂平面ABF,平面ABF∩平面PDE=FG,所以AB∥FG.(2)解:因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),三 求平面与平面的夹角典例剖析3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,E为AB的中点,求平面DEC1与平面ABCD的夹角的余弦值.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(3,2,0),C1(0,4,2),令x=2,则y=-3,z=6.所以n=(2,-3,6)为平面DEC1的一个法向量.易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),设平面DEC1与平面ABCD的夹角为θ,互动探究1.(变问法)若本例条件不变,求二面角D1-DE-C1的余弦值.2.(变条件,变问法)本例中,将“E为AB的中点”改为“在线段AB上是否存在一点E,使平面DEC1与平面ABCD的夹角的余弦值为 ?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由”.解:假设存在点E,设AE=a(0≤a≤4).如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则E(3,a,0),C1(0,4,2),D(0,0,0),规律总结 利用向量方法求平面间夹角的大小时,多采用法向量法,具体求解步骤如下:(1)建立空间直角坐标系.(2)分别求出两个平面的法向量n1和n2.(3)设平面间的夹角为θ,则cos θ=|cos|.(4)利用余弦值,确定平面间的夹角的大小.提醒:若求二面角θ,求出cos后,观察图形,判断二面角为锐角还是钝角,若二面角为锐角,则cos θ=|cos|,若二面角为钝角,则cos θ=-|cos|.学以致用3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求平面AA1D与平面BA1D的夹角的余弦值.解:如图,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,随堂训练1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos=- ,则直线l与平面α所成的角为(　　)A.30° B.60° C.120° D.150°答案:A2.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为(　　)A.45° B.60° C.135° D.90°答案:A3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成的角为(　　)A.60° B.90° C.105° D.75°答案:B4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)答案:D 5.已知在正方形ABCD所在平面外有一点P,且PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的夹角的大小为　　　　　. 答案:45°解析:如图,建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).