广西专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程习题课二直线与圆锥曲线的综合问题课件新人教版选择性必修第一册

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习题课二　直线与圆锥曲线的综合问题一 圆锥曲线中的弦长与面积问题规律总结 1.解决圆锥曲线中的弦长问题,主要采用设而不求的思想,通过一元二次方程根与系数的关系,借助弦长公式进行求解.2.解决圆锥曲线中的面积问题,关键在于面积公式的选择,一般有两种思路:一是利用弦长作为底,点到直线的距离作为高,通过S= ×底×高求得面积;二是将三角形进行分割,通过它们的公共底边,结合顶点的纵坐标或横坐标的差的绝对值求解.【跟踪训练1】已知椭圆C: +y2=1,直线l经过点E(-1,0),与椭圆C相交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.求:(1)直线l的方程;(2)弦AB的长度.二 圆锥曲线中的最值问题(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知圆O:x2+y2=4,过点F1且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于点P,Q,与圆O交于点M,N,求 的最大值.规律总结 解决圆锥曲线中最值问题的方法:(1)建立函数模型,利用求二次函数、三角函数等的最值方法求解;(2)建立不等式模型,利用基本不等式求最值;(3)数形结合,借助几何关系与几何性质求解.【跟踪训练2】已知F是抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若 =12,则△AOB面积的最小值为(　　)A.6 B.8 C.10 D.12答案:B解析:设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,则y1y2=-m,y1+y2=t.三 圆锥曲线中参数的取值范围问题【典型例题3】已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作垂直于x轴的直线被抛物线C截得的弦长为4.(1)求抛物线C的方程;(2)过点(m,0),且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB,若点F在以AB为直径的圆内,求m的取值范围.因此抛物线C的方程为y2=4x. 规律总结 解决圆锥曲线中范围问题的方法:(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用函数的值域等方法求解;(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过不等式方法求解;(3)判别式法:建立关于变量的一元二次方程,利用判别式求解;(4)数形结合法:研究该参数的几何意义,通过数形结合求解.【跟踪训练3】已知椭圆C: +y2=1,设过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),则直线l的斜率的取值范围是(　　)答案:B 四 圆锥曲线中的定值问题【典型例题4】已知椭圆C:x2+2y2=a2(a>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.(1)求椭圆C的方程.(2)已知直线y=k(x-1)与椭圆C交于A,B两点,x轴上是否存在点M(m,0),使得对任意的k∈R, 为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.规律总结 求解圆锥曲线中的定值问题的方法:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理计算,并在计算推理过程中消去参数,从而得到定值.(2)证明:由(1)可知F(2,0),由题可知,l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),五 圆锥曲线中的定点问题【典型例题5】已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点坐标是(-4,0).(1)求抛物线的方程;(2)求定点M,使过点M的直线l与抛物线交于B,C两点(异于原点),且以BC为直径的圆恰好经过原点.解:(1)依题意,准线方程为x=-4,所以 =4,2p=16,故抛物线的方程为y2=16x.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0.设点B(x1,y1),C(x2,y2),因为以BC为直径的圆恰好经过原点,规律总结 解决圆锥曲线中定点问题的方法:(1)从特殊情况入手,先探求定点,再证明这个定点与变量无关;(2)探索直线过定点时,先设直线方程为y=kx+b,再根据题目条件建立参数k,b的关系式,从而借助直线系得出定点.关键在于根据已知条件建立相关参数间的关系式,然后根据关系式的特征确定所过定点,其中特别要注意特殊直线的决定性作用,例如斜率不存在的直线,这些直线所满足的条件往往就指明了定点的坐标.【跟踪训练5】过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点　　　　　. 答案:(2,-1)