2023-2024学年湖南省长沙市周南名校高三上学期入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市周南名校高三上学期入学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

周南名校高三（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若复数，则复数z的虚部为（　　）
A． B．i C． D．
2．（5分）已知全集U的两个非空真子集A，B满足（∁UA）∪B＝B，则下列关系一定正确的是（　　）
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B C．A∪B＝A D．（∁UB）∪A＝A
3．（5分）已知向量，，若，则实数m的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
4．（5分）设互不相等的三个实数a，b，c满足b+c＝6﹣4a+3a2，c﹣b＝4﹣4a+a2，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．（5分）设α，β，γ∈，且sinβ+sinγ＝sinα，cosα+cosγ＝cosβ，则β﹣α等于（　　）
A． B． C．或 D．
6．（5分）已知函数，在正项等比数列{an}中，a1012＝1，则＝（　　）
A．1011 B．1012 C．2023 D．2024
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x+1的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（　　）
A．（3，7） B．[3，7] C．（3，+∞） D．[3，+∞）
8．（5分）若函数（ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的命题有（　　）
A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.3
B．设随机变量，则D（X）＝5
C．在抛骰子试验中，事件A＝{1，2，3，5，6}，事件B＝{2，4，5，6}，则
D．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好
（多选）10．（5分）济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中a＞0，则下列关于悬链线函数f（x）的性质判断正确的是（　　）

A．f（x）为偶函数
B．f（x）为奇函数
C．f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）
D．f（x）的最大值是a
（多选）11．（5分）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是（　　）
A．∠OMB的最大值为
B．若点A（5，3），则|PA|+|PF|的最小值为5
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMC
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则存在λ∈R，使得
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为空间中任一点，则下列结论中正确的是（　　）
A．若M为线段AC上任一点，则D1M与B1C1所成角的范围为
B．若M为正方形ADD1A1的中心，则三棱锥M﹣ABD外接球的体积为8π
C．若M在正方形DCC1D1内部，且|MB|＝，则点M轨迹的长度为π
D．若三棱锥M﹣BDC1的体积为恒成立，点M轨迹的为椭圆的一部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）现有7个大小与形状完全相同、质地均匀的小球，球上标有数字1，2，2，3，4，5，6．从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为 　 　．
14．（5分）已知函数，若f（x）＝a有四个解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是 　 　．
15．（5分）如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则球O被平面BCD截得的截面面积为 　 　．

16．（5分）已知直线l：x﹣3y+m＝0与圆C1：（x﹣λ）2+y2＝λ2（λ＞0）相切于点E，直线l与双曲线C2：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线C2的离心率为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sinAsinBsinC＝（sin2A+sin2B﹣sin2C）．
（1）求C；
（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．
18．（12分）如图，四棱锥C﹣AEFB中，底面AEFB为直角梯形，且∠FBA＝∠EAB＝90°，平面AEFB⊥平面ABC，BF＝BC＝6，AB＝AC＝5，四棱锥C﹣AEFB的体积为32．
（1）求AE长；
（2）若M为EF中点，求直线CF与平面AMC所成角的正弦值．

19．（12分）英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系．该公式为：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，⋯，n，则对任意的事件B⊆Ω，P（B）＞0，有，i＝1，2，⋯，n．现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X（分钟）的分布列和数学期望．
20．（12分）正数数列{an}，{bn}满足a1＝8，b1＝16，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）求证：．
21．（12分）已知a＞0，函数f（x）＝xex﹣a，g（x）＝xlnx﹣a．
（1）证明：函数f（x），g（x）都恰有一个零点；
（2）设函数f（x）的零点为x1，g（x）的零点为x2，证明x1x2＝a．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）若点M满足，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△MFD，△OED（O为坐标原点）的面积分别为S1，S2，求的取值范围．










参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【答案】D
【解答】解：由复数，所以复数z的虚部为．
故选：D．
2．【答案】D
【解答】解：∵（∁UA）∪B＝B，
∴∁UA⊆B，
如图，当∁UA≠B时，A∩B≠∅，A∩B≠B，A∪B＝U≠A，
故选项A，B，C错误；
由∁UA⊆B，可得∁UB⊆A，故（∁UB）∪A＝A必然成立，选项D正确．
故选：D．

3．【答案】B
【解答】解：已知向量，，
又，
则（﹣6）×m＝2×3，
即m＝﹣1，
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：由c﹣b＝4﹣4a+a2＝（2﹣a）2≥0，所以c≥b，
又因为a，b，c互不相等，所以c＞b，
再由b+c＝6﹣4a+3a2①，
c﹣b＝4﹣4a+a2②，
①﹣②得：2b＝2+2a2，即b＝1+a2，
因为，
所以b＝1+a2＞a，
∴c＞b＞a．
故选：D．
5．【答案】A
【解答】解：由sinβ+sinγ＝sinα，cosα+cosγ＝cosβ，
得sinγ＝sinα﹣sinβ，cosγ＝cosβ﹣cosα，
平方得sin2γ＝（sinα﹣sinβ）2＝sin2α+sin2β﹣2sinαsinβ，
cos2γ＝（cosβ﹣cosα）2＝cos2α+cos2β﹣2cosαcosβ，
相加得1＝2﹣2cos（β﹣α），
即cos（β﹣α）＝，
∵α，β，γ∈，sinγ＝sinα﹣sinβ＞0，
∴sinα＞sinβ，则α＞β，即β﹣α＜0，
∴β﹣α＝，
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：已函数，
在正项等比数列{an}中，a1012＝1，
则at•a2024﹣t＝1，1≤t≤2023，t∈N+，
则f（at）+f（a2024﹣t）＝＝，
则＝．
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：圆的圆心为C1（﹣4，1），
设C1（﹣4，1）关于直线y＝x+1的对称点为C3（a，b），
所以，解得，
所以C1（﹣4，1）关于直线y＝x+1的对称点为C3（0，﹣3），
由题意得，以C3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点，
所以|r﹣2|≤|C2C3|≤r+2，解得：3≤r≤7．

故选：B．
8．【答案】B
【解答】解：函数＝，
由于函数在区间（π，2π）内没有最值；
故函数在区间（π，2π）内单调，
①当函数为单调增函数时；，
整理得：（k∈Z），
所以，解得（k∈Z），
当k＝0时，．
②当函数为单调递减函数时，，
整理得，
所以，解得（k∈Z），
当k＝0时，．
故．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【答案】BD
【解答】解：选项A，P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝P（X＜4）﹣P（X＜2）＝0.9﹣0.5＝0.4，即A错误；
选项B，D（X）＝np（1﹣p）＝20××＝5，即B正确；
选项C，由题意知，AB＝{2，5，6}，所以P（AB）＝，
而P（B）＝，所以P（A|B）＝＝＝，即C错误；
选项D，由相关指数的概念与性质，可知D正确．
故选：BD．
10．【答案】AC
【解答】解：定义域为R，
f（﹣x）＝（+）＝f（x），
故f（x）为偶函数，A正确，B错误；
因为+＞0，
所以f（x）＝a，当且仅当x＝0时取等号，D错误；
（﹣）＝（﹣），
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，C正确．
故选：AC．
11．【答案】ACD
【解答】解：对于A，设直线MB的方程为x＝﹣1+my，
与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my+4＝0，
当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．
由Δ＝16m2﹣16＝0，即m＝±1，直线MB的斜率为±1，
此时∠OMB取得最大值，故A正确；
对于B，设A（5，3），A在准线x＝﹣1上的射影为A'（﹣1，3），
设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|＝|PA|+d≥|AA'|＝6，
当且仅当A，P，A'三点共线时等号成立，故B错误；
对于C，M（﹣1，0），设直线BC的方程为x＝ny+1，
代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4ny﹣4＝0，
设B（，y1），C（，y2），可得y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4，
则kMB+kMC＝+＝＝0，故MB，MC的倾斜角互补，
所以∠OMB＝∠OMC．故C正确；
对于D，由C的分析可知D（﹣1，y2），
kOB＝＝，kOD＝﹣y2，由于y1y2＝﹣4，则kOB＝kOD，
可得三点B、O、D在同一条直线上，则存在λ∈R，使得，故D正确．
故选：ACD．

12．【答案】ACD
【解答】解：对于A：过点M作MN∥BC交DC于点N，连接D1M，D1N，
则∠D1MN即为D1M与B1C1所成角的平面角，且MN⊥D1N，
当点M由点A向点C移动的过程中，线段D1N逐渐变长，MN逐渐变短．
所以tan∠D1MN＝逐渐变大．又当点M在点A处时，；
当点M在点C处时，，故A正确．

对于B：由题意可知△MAD和△ABD均为直角三角形．
所以AC与BD的交点O即为三棱锥M﹣ABD的外接球的球心．
此外接球的体积V＝π（）3＝π，B不正确．

对于C：点M在正方体右侧面BCB1C1内，满足，所以点M的轨迹的长度为•2π•＝π，故C正确．
对于D：由三棱锥M﹣BDC1的体积为 知点M到平面BDC1的距离为，
则点M在过点D1与过点C且与平面BDC1平行的两个平面α与β上．

因为D1C与平面α，β所成角的余弦值为，该角大于所以点M在平面β上．
又因为恒成立，所以点M的轨迹为椭圆，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【答案】．
【解答】解：因为7个球任取3个有＝35种，
其中所取出的小球上的数字最小值为2的有＝16种，
所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为．
故答案为：．
14．【答案】（10，）．
【解答】解：分别画出y＝f（x）与y＝a的图象，如图所示，

若f（x）＝a有四个解，则0＜a＜1，
∵|log2x1|＝|log2x2|，∴﹣log2x1＝log2x2，
∴＝x2，
∴x1+x2＝+x2，1＜x2＜2，
易知y＝+x2在（1，2）为增函数，
∴2＜x1+x2＜，
∵x3+x4＝8，∴x1+x2+x3+x4∈（10，）．
故答案为：（10，）．
15．【答案】．
【解答】解：在棱长为2的正四面体ABCD中，连接AN，DN，过O作OE⊥DN于E，如图，

由M，N分别为棱AD，BC的中点，
得AN⊥BC，DN⊥BC，
而AN⋂DN＝N，AN，DN⊂平面AND，
则BC⊥平面AND，
又BC⊂平面BCD，
于是平面AND⊥平面BCD，
而平面AND∩平面BCD＝DN，
因此OE⊥平面BCD，
而，DM＝1，MN⊥AD，
则，
球O半径，，
从而，
球O被平面BCD截得的截面圆半径，
所以球O被平面BCD截得的截面面积．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：双曲线C2：＝1的两条渐近线为y＝，
联立，解得A（，），
联立，解得，B（，）．
∴AB的中点坐标E（），
∴，
又xE＞0，∴yE＞0，即点E在第一象限，得m＞0，
又直线l与圆C1相切，得，解得m＝（负值舍去），
则直线，
联立，解得E（，），
得，即，解得a＝b．
∴双曲线C2的离心率＝．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【答案】（1）；
（2）（2，3]．
【解答】解：由sinAsinBsinC＝（sin2A+sin2B﹣sin2C）及正弦定理，得absinC＝（a2+b2﹣c2），
又a2+b2﹣c2＝2abcosC，∴absinC＝abcosC，
∴tanC＝，又0＜C＜π，
∴C＝；
（2）由余弦定理，可得3＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab
≤（a+b）2﹣3×（）2，当且仅当a＝b时取等号，
∴a+b≤2，又a+b＞c＝，∴2＜a+b+c≤3，
∴△ABC周长的取值范围（2，3]．
18．【答案】（1）2；（2）．
【解答】解：（1）四棱锥C﹣AEFB中，底面AEFB为直角梯形，且∠FBA＝∠EAB＝90°，
平面AEFB⊥平面ABC，BF＝BC＝6，AB＝AC＝5，四棱锥C﹣AEFB的体积为32，
取BC中点O，连AO，∵AB＝AC＝5，∴AO⊥BC，BC＝6，∴AO＝4，
过点C作CH⊥AB，H为垂足，∵平面AEFB⊥平面ABC，
平面AEFB∩平面ABC＝AB，
∴CH⊥平面AEFB，
，
，
∴AE＝2．
（2）如图，以O为原点，OC，OA所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．
由题意得FB⊥平面ABC，
C（3，0，0），A（0，4，0），F（﹣3，0，6），E（0，4，2），
∴M（﹣，2，4），
设平面AMC的法向量为，
则，即，
取x＝4，得，，
设直线CF与平面AMC所成角为θ，
则．

19．【答案】（1）0.0525；
（2）分布列见解析，期望为32（分钟）．
【解答】解：（1）设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
根据题意P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，
P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，
由全概率公式可得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525；
（2）由题意知X＝35，32，30，
又，
同理得，
∴加工这个零件耗时X的分布列为：
X
35
32
30
P



∴（分钟）．
20．【答案】（1）an＝4n（n+1），；（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）∵an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，
∴2bn＝an+an+1，，
∵数列{an}，{bn}为正数数列，
∴，
当n≥2时，，
∴，
∴，
∵b1＝16，∴，
∵2b1＝a1+a2，∴a2＝24，
∵，∴b2＝36，∴，
∴数列{bn}时以4为首项，2为公差的等差数列，
∴，∴，
当n≥2时，＝＝4n（n+1）；
当n＝1时，a1＝8满足上式，∴an＝4n（n+1）．
（2）证明：∵＝＝＝，
当n＝1时，；
当n≥2时，；
当n≥3时，＝

＝，
综上所述，对一切正整数n，有．
21．【答案】（1）证明详情见解答．
（2）证明详情见解答．
【解答】证明：（1）函数f（x）＝xex﹣a的定义域为R，
f'（x）＝（x+1）ex，
所以当x＜﹣1时，f'（x）＜0，
当x＞﹣1时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减增，
因为x＜0时，f（x）＜0，f（0）＝﹣a＜0，f（a）＝aea﹣a＝a（ea﹣1）＞0，
所以函数f（x）恰有一个零点，
函数g（x）＝xlnx﹣a的定义域为（0，+∞），
g'（x）＝lnx+1，
所以当时，g'（x）＜0，
时，g'（x）＞0，
所以g（x）在上单调递减，g（x）在上单调递增，
因为x＜1时，g（x）＜0，g（1）＝﹣a＜0，
令b＞max{a，e}，g（b）＝blnb﹣a＞a（lna﹣1）＞0，
所以函数g（x）恰有一个零点．
（2）由（1）得函数f（x）的零点为x1，且x1＞0，g（x）的零点为x2，且x2＞1，
则有，x2lnx2﹣a＝0，
所以，
所以，
所以f（x1）＝f（lnx2），
因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，由（1）可得x1＞0，x2＞1，lnx2＞0，
所以x1＝lnx2，
所以，
因为，
所以x1x2﹣a＝0，
所以x1x2＝a，原式得证．
22．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设F（c，0），
当x＝c时，，，，
依题意得，
又，a2＝b2+c2，
解得a2＝5，b2＝3，
所以C的方程为．
（2）由（1）知，，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设直线l：（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
因为，
所以M为AB的中点，
联立，消去x并整理得，
恒成立，
，，
所以＝，
所以，
则直线DE的方程为，
令x＝0，得，即，
令y＝0，得，即，
则，，
由题意得△DOE与△DMF相似，
可得，
所以＝＝＝
＝，
所以，
设t＝1+m2，因为m≠0，
所以t＞1，
令，t＞1，f′（t）＝，
所以为（1，+∞）上的增函数，
所以，
所以的取值范围是．