人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形测试题

这是一份人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形测试题，文件包含八年级数学上册专题03等腰三角形的性质原卷版docx、八年级数学上册专题03等腰三角形的性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题03 等腰三角形的性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
2．（2分）（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形
D．在 ABC中， ，则 ABC为直角三角形
【答案】C
【完整解答】解：A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；
B、三角形的内角和为180°，故此选项错误；
C、有两个角是60°，则第三个角为 ，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；
D、设 ，则 ，故 ，解得 ，所以 ， ，此三角形不是直角三角形，故此选项错误.
故答案为：C.
【思路引导】A、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，据此判断即可；
B、三角形的内角和为180°，据此判断即可；
C、三个角是60°的三角形时等边三角形，据此判断即可；
D、根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可.
3．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（　　）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
4．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（　　）

A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m
【答案】C
【完整解答】解：∵ ， ，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ= ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，

∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= ，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12， ，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【思路引导】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ= MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
5．（2分）（2021八上·遵义期末）已知 的周长是16，且 ，又 ，D为垂足，若 的周长是12，则AD的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【完整解答】解：如图：

∵AB=AC，且AD⊥BC，
∴BD=DC= BC，
∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16，
∴AB+BD=8，
∴AB+BD+AD=8+AD=12，
解得AD=4.
故答案为：D.
【思路引导】根据等腰三角形的性质可得BD=DC= BC，结合△ABC的周长为16可得AB+BD=8，然后根据△ABD的周长为12就可求出AD.
6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP，

∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，

∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，

∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，

∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，

∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α，
∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α，
故答案为：D.
【思路引导】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
8．（2分）（2021八上·江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
【答案】D
【完整解答】解：如图，连接AM、AD

∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ ，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
【思路引导】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.
9．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（　　）

A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【完整解答】解：连接BO，CO，

∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【思路引导】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
10．（2分）（2021八上·广安期末）如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°- ，
∵BE，CE分别 ，
∴

∴
∵ 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【思路引导】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得
∴AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
二．填空题（共10小题，满分22分，每小题2分）
11．（2分）（2021八上·永定期末）在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　.

【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，

∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，
∴S阴影＝S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，继而可得S阴影＝S△ABC，则可求得答案．
12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， ，点P在 的边 上，以点P为圆心， 为半径画弧，交 于点A，连接 ，则 　 　 .

【答案】70
【完整解答】解：由作图可知，PO=PA，
∴∠PAO=∠O=35°，
∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.
故答案为：70.
【思路引导】由作图可知：PO=PA，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO，据此计算.
13．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为　 　.

【答案】0°＜α＜
【完整解答】解：∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，
∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，
∴0°＜α＜ ，
故答案为：0°＜α＜ .
【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.
14．（2分）如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点．∠ADC=100°，那么∠CAB是　 　．

【答案】140°
【完整解答】解：设∠CAB=x
∵在△ABC中，∠B=∠ACB= （180°﹣x）
∵CD是∠ACB的角平分线，AD是∠BAC的角平分线
∴∠ACD= （180°﹣x），∠DAC= x
∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°
∴ （180°﹣x）+ x+100°=180°
∴x=140°
故答案是：140°．
【思路引导】设∠CAB=x，根据已知可以分别表示出∠ACD和∠DAC，再根据三角形内角和定理即可求得∠CAB的度数．
15．（2分）（2022八上·新昌期末）如图，一块木板把ABC遮去了一部分，过点A的木板边沿恰好把ABC分成两个等腰三角形，已知，且∠B是其中一个等腰三角形的底角，则ABC中最大内角的度数为　 　.

【答案】90°或140°或150°
【完整解答】解：根据题意，分三种情况进行讨论：
如图所示：

①与为等腰三角形，，且为底角，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，，，
∴最大内角为；
②∵，，为等腰三角形，为顶角，
∴，
，
在中，，，，
∴最大内角为；
③∵，，为等腰三角形，为顶角，
在中，，，，
∴最大内角为；
综上可得：最大内角为或或.
故答案为：或或.
【思路引导】①△ABD和△ACD为等腰三角形，∠B=10°，且∠B为底角，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB=160°，根据邻补角的性质求出∠ADC的度数，利用内角和定理求出∠CAD的度数，根据∠BAC=∠BAD+∠CAD求出∠BAC的度数，进而可得最大内角；
②∠ADC=20°，△ADC为等腰三角形，∠C为顶角，易得∠ABC=∠BAD+∠CAD=30°，据此得最大内角；
③∠ADC=20°，△ADC为等腰三角形，∠ADC为顶角，求出∠B、∠C、∠BAC的度数，进而可得最大内角.
16．（2分）（2021八上·芜湖期末）一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是　 　．
【答案】20
【完整解答】解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．
故答案为：20．
【思路引导】利用三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质求解即可。
17．（2分）（2019八下·鼓楼期末）如图，正方形ABCD边长为a，O为正方形ABCD的对角线的交点，正方形A1B1C1O绕点O旋转，则两个正方形重叠部分的面积为　 　．

【答案】
【完整解答】解：如图，
∵O为正方形ABCD的对角线的交点，
∴∠4＝∠5＝45°，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴∠EOF＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AOE和△BOF中
∠4=∠5OA=OB∠1=∠3 ，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴两个正方形重叠部分的面积＝S△OBE+S△OBF＝S△OBE+S△AOE＝S△AOB＝ S正方形ABCD＝ ．
故答案为 ．


【思路引导】如图，由正方形的性质和旋转的性质得出∠1＝∠3，证明出△AOE≌△BOF，得S△AOE＝S△BOF，从而得出两个正方形重叠部分的面积＝ S正方形ABCD，即可求出两个正方形重叠部分的面积等于.
18．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　

【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
19．（2分）（2021八上·南宁期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画　 　个.

【答案】6
【完整解答】解：如图，

根据三角形全等的性质以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC为公共边不可以作出全等三角形，所以共可以作出六个全等三角形.
故答案为：6.
【思路引导】由题意可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，然后可求解．
20．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 　 　.

【答案】②③④
【完整解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，


设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，

分别是 的角平分线，



是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·南京期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.

（1）（2分）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）（3分）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.
【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.
【思路引导】（1）证明△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，进而根据等式的性质得∠EAC＝∠BAD；
（2）由等腰三角形的性质求出∠AEC＝∠C＝69°，由△ABC≌△ADE可得∠AED＝∠C＝69°，利用平角的定义即可求解.
22．（5分）（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．

【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【思路引导】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
23．（6分）（2019八上·同安期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．

【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°， ∴3∠ABP＝120°﹣24°， ∴∠ABP＝32°； （Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC， ∴BM⊥AC， ∴∠BMC＝90°， ∵PD⊥BC，点D是BC边的中点， ∴PD垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∵△PCM的周长为m+2， ∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2， ∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM•CM＝m2+2•BM•CM＝（m+2）2， ∴BM•CM＝2m+2， ∴△BCM的面积＝ BM•CM＝m+1．
【思路引导】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BM•CM＝2m+2，于是得到结论．
24．（6分）（2021八上·松桃期末）如图①： 中， ，延长AC到E，过点E作 交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作 交AB的延长线于H，且 .

（1）（3分）求证： ≌ ；
（2）（3分）如图②，连接EG与FH相交于点D，若 ，求DH的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （AAS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），
∴ .
【思路引导】（1）由等腰三角形的性质及对顶角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定义可得∠AFE=∠BHG=90°，根据AAS证明△AEF≌△BGH；
（2）由全等三角形的性质可得AF=BH，从而求出AB=FH=4 ，根据AAS证明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性质可得DH的长 .
25．（6分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．

【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，

∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
【思路引导】本题作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DF=DM=DN，再利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得DE平分且等于45°，同时利用等腰三角形两底角相等的性质借助三角形内角和又得∠DCF=15°，最后根据三角形外角性质即可求出结果。
26．（10分）如图：

（1）（3分）如图①， ，射线 在这个角的内部，点B、C分别在 的边 、 上，且 ， 于点F， 于点D.求证： ；
（2）（3分）如图②，点B、C分别在 的边 、 上，点E、F都在 内部的射线AD上， 、 分别是 、 的外角.已知 ，且 .求证： ；
（3）（4分）如图③，在 中， ， .点 在边 上， ，点 、 在线段 上， .若 的面积为15，求 与 的面积之和.
【答案】（1）证明：∵ ，
即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴
（2）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
，
，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ .
（3）解：由（2）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
，
.
【思路引导】（1）先利用相同角的余角相等得到 ，再通过“角角边”证明 即可；（2）根据题意易得 ，利用三角形的外角性质与等量代换可得 ，再通过“角角边”证明 即可；（3）同理（2）可得 ，因为 ，所以 ，则 .
27．（10分）（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.

（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）（3分）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）（4分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
28．（12分）（2018八上·阿城期末）如图：

（1）（3分）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）（4分）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）（5分）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

【答案】（1）解：DE=BD+CE．理由如下：
如图1，

∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD
（2）解：如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE
（3）解：DF=EF．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CAE，
BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
∴DF=EF．
【思路引导】（1）根据题意可得，AB=AC，∠BDA=∠AEC，∠BAD=∠ACE，既而可以证明△ABD≌△CAE（AAS），所以DE=DA+AE，进行等量代换，可得DE=BD+CE。（2）∵∠BAE为三角形ABD的外角，根据题意可证得∠DBA=∠EAC，既而证明△BDA≌△AEC，利用等量代换 ，与（1）方法相同，即可证明DE=BD+CE。（3）根据题目条件，可证得△FBD≌△FAE，即DF=EF，△FDE为等腰三角形；又因为∠BFD+∠AFD=60°，所以∠AFD+∠AFE=60°，所以等腰三角形FDE为等边三角形。