初中人教版第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形一课一练

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专题17 两圆一线法求第三点与已知两点构成等腰三角形
1．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（       ）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．
【详解】
解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），

当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有4个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，圆的定义，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
2．等边三角形所在平面内有一点，且点不与点，，重合，使得，，都是等腰三角形，这样的点共有（       ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【答案】D
【解析】
【分析】
当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，当点P在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
【详解】
如图所示：当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，
分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，
每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．
故选D．


【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．
3．已知坐标平面内一点，为原点，是轴上一个动点，如果以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别求得符合条件的动点的个数即可．
【详解】
如图，

①当时，以为圆心，的长度为半径作圆，交轴于点；
②当时，以为圆心，的长度为半径作圆，交轴于点；
③当时，作的垂直平分线，与轴交于点,
综上所述，是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．
4．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（      ）个

A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论
【详解】
解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个
由上可知，满足条件的点N共有4个
故选：B
【点睛】
本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键
5．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．
【详解】
分二种情况进行讨论：
①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与y轴有一个交点；
②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，
∴符合条件的点一共4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．
6．如图，已知，∠OAB=30°，∠AOB=90°，O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解析】
【分析】
分为顶角、为顶角、为顶角三种情况，再根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】
在中，，
，
由题意，分以下三种情况：
（1）如图，当为顶角时，
以点A为圆心、AB长为半径画圆，交坐标轴于点，其中是等边三角形；
（2）如图，当为顶角时，
以点B为圆心、BA长为半径画圆，交坐标轴于点，
经过点的理由：是等边三角形，
，
点一定在以点B为圆心、BA长为半径的圆上；
（3）如图，当为顶角时，
作AB的垂直平分线，交坐标轴于点，
经过点的理由：是等边三角形，
点一定在AB的垂直平分线上；
综上，符合条件的点P有6个，
即点P的坐标可能有6个，
故选：B．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
7．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（       ）

A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【答案】C
【解析】
【分析】
要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
解：如图：

①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
8．在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，﹣3），点P是y轴上一点，则使△AOP为等腰三角形的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【详解】
解：如图示，点P共有4个点．
故选C．

9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（        ）


A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
分别以为圆心，以长为半径画圆，确定与轴交点的个数，此外作的垂直平分线，确定与轴交点的个数，即可求解．
【详解】
解：分别以为圆心，以长为半径画圆，如下图：


此时与轴交点的个数为4，
作的垂直平分线，如上图：
此时与轴交点的个数为1，
故选：B
【点睛】
此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．
10．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有__________个．

【答案】6
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB．
【详解】
如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，
交x轴有一点，交y轴有两点，
此时AB = AM，
为等腰三角形；
②以B为圆心，BA为半径画圆，
交直线x轴有两点，交y轴有一点，
此时BM = BA，
为等腰三角形；
③作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点，
此时MA = MB，
为等腰三角形，


是等边三角形，故重合
符合条件的点有6个，

故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
【答案】8
【解析】
【分析】
分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底， AB的垂直平分线与两轴的交点即可
【详解】
解：如图所示：
①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；
②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，
③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；
3+3+2＝8，
因此，满足条件的点P有8个，
故答案为：8．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
12．如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点P共______个．

【答案】4
【解析】
【分析】
分AB=AP、BA=BP、PA=PB三种情况，画出图形即可得答案．
【详解】
①AB=AP：以A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有2个交点P1、P2，
∴P1、P2，符号条件，
②BA=BP：以B为圆心，BA长为半径画弧，与x轴有2个交点P3、点(2，0)，
∵点(2，0)与AB不能构成三角形，
∴P3符合条件，
③PA=PB：作线段AB的垂直平分线，与x轴有1个交点P4，
∴P4A=P4B，
∴P4符合条件，

综上所述，符合条件的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想，分别画出图形是解题关键．
13．如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．

【答案】8
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】
解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故答案为：8．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
14．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．
【答案】10
【解析】
【分析】
使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
【详解】
∵A（8，0），
∴OA=8，
设△AOP的边OA上的高是h，
则×8×h=16，
解得：h=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：

①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
其中，没有重复的点，
∴4+4+1+1=10．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，在轴上确定一点，使为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．
【答案】90°，45°，135°
【解析】
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有2个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．
【详解】
（1）若AO作为腰时，有两种情况，
①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°；
②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；
（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．
综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，
故答案是：90°，45°，135°．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有__________

【答案】8
【解析】
【分析】
分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】
解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个
综上所述，满足条件的点P有8个．


故答案为：8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
17．在坐标系中，已知点关于轴，轴的对称点分别为，，若坐标轴上的点恰使，均为等腰三角形，则满足条件的点有______个．
【答案】5
【解析】
【分析】
如图所示，利用两圆一线的方法，判断点M的个数即可．
【详解】
解：如图，分别以A，Q为圆心，以AQ长度为半径画出两个较大的圆，此时x轴上的点满足与A，Q组成等腰三角形有5个，y轴上的点均可满足与A，Q组成等腰三角形，然后分别以A，P为圆心以AP的产生古为半径画出两个较小的圆，此时坐标轴上只有x轴上的点满足与A，P组成等腰三角形，因此点恰使，均为等腰三角形共有5个．

【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用等腰三角形性质判断相关的点．
18．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有_____个．

【答案】8
【解析】
【分析】
分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【详解】
解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5，
在x轴上有1点满足条件的点C2，
②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4，
在x轴上有2点满足条件的点C3，C8，
③当AC=BC时，在y轴有1点满足条件的点C6，
在x轴有1点满足条件的点C7，
综上所述：符合条件的点C共有8个．
故答案为：8．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
19．如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点和，若动点C在x轴上运动，则使为等腰三角形的点C有________个．

【答案】4
【解析】
【分析】
分为三种情况：①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC，画出图形，即可得出答案．
【详解】
∵A（1，0），B（0，1），
∴AO=OB=1，如图：

①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合；
②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合；
③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合；
共2+1+1=4个点符合．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．
20．O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，符合条件的点P有___________个．
【答案】4
【解析】
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.共有4个．
【详解】
解：如图，


（1）若AO作为腰时，有两种情况，
①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；
②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；
（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．
以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．
故答案是：4．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个．

【答案】8
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质作图即可；
【详解】
解：如图，

以AB为腰的三角形有6个，
分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6；
以AB为底的三角形有两个，
分别是△ABP7，△ABP8．
因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键．
22．作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．

【答案】作图见解析
【解析】
【分析】
分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.
【详解】
解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；
以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；
还有一点是三边的垂直平分线的交点，
∴一共有10个点；

【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.