初中12.3 角的平分线的性质随堂练习题

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专题22 角平分线和垂直平分线结合
1．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，H为AB的中点，连接EH，CH，FH，则下列说法正确的个数为（　　）
①∠BAD＝∠CBE；②EH⊥AB；③CE＝AF；④AE＝CE+CF；⑤S△EFH＝S△EHC．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此可判断①；先判断出是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断②；先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，在上截取，连接，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此可判断③；先根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，从而可得，再证出是等腰直角三角形，从而可得，然后根据线段和差可得，即可判断④；过点作于点，作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可判断⑤．
【详解】
解：，
，
，
，
，说法①正确；
，
是等腰直角三角形，，
为的中点，
（等腰三角形的三线合一），说法②正确；
在和中，，
，
，
如图，在上截取，连接，

则垂直平分，
，
，
，
，即，
，说法③错误；
，
垂直平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，说法④正确；
如图，过点作于点，作于点，

是等腰直角三角形，是边上的中线，
平分（等腰三角形的三线合一），
，
，说法⑤正确；
综上，说法正确的个数为4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键，较难的是⑤，通过作辅助线，利用到角平分线的性质定理．
2．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（       ）

A．19 B．28 C．29 D．38
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长．
【详解】
解：连接BD、DC，
∵AD平分∠ BAC，，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．

【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
3．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】
解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴GA＝GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，
③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∴∠FPC＝∠BCP，
∴FP＝FC，
故①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和平行线的性质解答是解题的关键．
4．如图，中，，、的平分线交于，是延长线上一点，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号有（       ）．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．
详解：∵，
∴，
∵、分别为、的平分线，
∴，，
∴，
∴，
故①正确．
如图，过点作于，的延长线于，

∵、分别为、的平分线，
∴为的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，．
∴，
∵在和中，
，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
根据三角形的外角性质，
，
∴，
∴，故②正确．
∵，
∴、、三点在以为圆心，以为半径的圆上，
∴，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③，
故选．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
5．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】
解：平分，平分，
，，




，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，

，



，
故答案为：．


【点睛】
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题
6．同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形．
（1）如图1，以等边的边为腰作等腰直角，其中，，点、点都是在的同侧，延长、交于点，连接，求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作平分交于点，求证：；
（3）如图3，将图（1）的沿着翻折得到，连接，为中点，连接并延长交于点，请猜测、、三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）为等边三角形，为等腰直角三角形可求；
（2）作交延长线于，再证明即可求出；
（3）在上截取连，得到，知道中点，可得，知道，得到为垂直平分线，再用角之间的关系可以推出三者关系．
【详解】
解：（1）如图，

∵为等边三角形
∴
∵为等腰直角三角形
∴，
∴
∴
（2）如图，

作交延长线于
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴

∴
∴
∴
（3）如图，

在上截取连
∵
∴
∵为中点
∴
∵
∴
∴
∵
∴为垂直平分线
∴
∴
∵
∴
∴,即
∴
∴
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、垂直平分线的性质，掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的性质和判定，灵活作辅助线是解题的关键．
7．如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：

(1)直线是线段的________线，射线是的________线；
(2)求的度数．
【答案】(1)线段垂直平分；角平分
(2)23°
【解析】
【分析】
（1）根据作图痕迹判断即可；
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；
(1)
解：根据作图痕迹可知，
直线是线段的线段垂直平分线；
射线是的角平分线；
(2)
∵垂直平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
8．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.

【答案】（1）仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点上.（2）角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质.
【解析】
【详解】
试题分析：

（1）   连接MN，分别以之为圆心进而画圆求解，做出其垂直平分线DE
（2）   再以O为圆心，任意长为半径，做角平分线
考点：基本作图
点评：解答本题的关键是熟练掌握几种基本变换的作图方法，准确找到关键点的对应点.
9．如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．
（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）
（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；
（2）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．
【详解】
（1）点P应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点处；
（2）如图所示：点P即为所求．

【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
10．有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

【答案】答案作图见解析
【解析】
【分析】
根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点．
【详解】
解：连接A,B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个．
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．

考点：作图-应用与设计作图
11．如图，七年级（1）班与七年级（2）班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要设一个茶水供应点，使茶水供应点到两个班的距离相等（不写作法、要求保留作图痕迹）．
（1）若茶水供应点P设在道路AB上，请你作出点P；
（2）若茶水供应点Q设在道路AB、AC的交叉区域内，并且使点Q到两条道路的距离相等，请你作出点Q．

【答案】（1）MN的垂直平分线与AB的交点；（2）∠BAC的平分线与MN的垂直平分线的交点．
【解析】
【详解】
解：(1)线段MN的垂直平分线与AB的交点即为点P，如下图：


(2)点Q是∠BAC的平分线与线段MN的垂直平分线的交点，如下图：

12．请你先在BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用网格特点作∠BAC的平分线交BC于P，则根据角平分线的性质得点P到AB、AC的距离相等，再利用网格特点过BC的中点作BC的垂线交AP于Q，则根据线段垂直平分线的性质得QB=QC．
【详解】
解：如图，点P和点Q为所作．

13．如图所示，已知和两点、，求作一点，使得点到的两边距离相等且.

【答案】详见解析
【解析】
【分析】
要使点到的两边距离相等，则应在的角平分线上，要使，则点P在的垂直平分线上，那么满足题设的点就是的垂直平分线与的角平分线的交点.
【详解】
要使点到的两边距离相等，则应在的角平分线上，要使，则点P在的垂直平分线上，那么满足题设的点就是的垂直平分线与的角平分线的交点，
作的角平分线，再作线段的垂直平分线交OC于点，如图所示：

【点睛】
本题是对角平分线的性质和垂直平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质和垂直平分线性质是解决本题的关键.
14．如图，点M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝3，ON＝7，在∠AOB内有一点G，到边OA，OB的距离相等，且满足GM＝GN．
（1）尺规作图：画出点G（要求：保留作图痕迹）；
（2）试证明：∠OMG+∠ONG＝180°；
（3）若P，Q分别是射线OA，OB上的动点，且满足GP＝GQ，则当OP＝4时，OQ的长度为　 　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4或6
【解析】
【分析】
（1）作OP平分∠AOB，作线段MN的垂直平分线EF，EF交OP于点G，点G即为所求；
（2）证明△OGK≌△OGH（AAS），推出OK＝OH，GK＝GH，由GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，推出Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），再利用全等三角形的性质，四边形内角和定理解决问题；
（3）首先求出OK＝OH＝5，PK＝1，然后分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图，点G即为所求．

（2）证明：作GK⊥OA于K，GH⊥OB于H．
∵∠GOK＝∠GOH，∠GKO＝∠GHO＝90°，OG＝OG，
∴△OGK≌△OGH（AAS），
∴OK＝OH，GK＝GH，
∵GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，
∴Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），
∴∠KGM＝∠HGN，
∴∠MGN＝∠KGH，
∵∠KGH+∠AOB＝180°，
∴∠MGN+∠AOB＝180°，
∴∠OMG+∠ONG＝180°；
（3）如图，

∵OK＝OH，MK＝NH，
∴OM+ON＝OK﹣KM+OH+HN＝2OK＝10，
∴OK＝OH＝5，
∵OP＝4，
∴PK＝5﹣4＝1，
∵GP＝GQ，
∴当点Q在线段OH上时，OQ＝OP＝4，
当点Q′在OH的延长线上时，OQ′＝5+1＝6，
故答案为4或6．
【点睛】
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（1）如图1，利用网格线，作出三角形关于直线l的对称图形．
（2）如图2，利用网格线：①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上找一点Q，使QB=QC．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可；
（2）①借助网格作出∠CAB的角平分线，则∠CAB的角平分线与BC的交点即为所求；
②借助网格作出线段BC的垂直平分线，则线段BC的垂直平分线与射线AP的交点即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示：
；
（2）①如图所示，点P即为所求；
②如图所示，点Q即为所求．

【点睛】
此题主要考查了作轴对称图形、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，正确借助网格作图是解题关键．
16．已知直线及位于其两侧的两点，，如图：
（）在图①中的直线上求一点，是直线平分．
（）能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接在图②作出该点的位置，若不能，请说明理由．

【答案】答案详见解析
【解析】
【详解】
分析：（1）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ，再由三角形全等的性质可得出；
（2）根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则点O为所求.
详解：（）如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，点即为所求．

（）如图：作点关于直线的对称点，连结并延长交直线于点，点即为所求．

点睛：此题主要考查了两点之间线段最短、线段的垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解题关键.
17．如图，方格纸上画有、两条线段，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（）请你在图（）中画出线段关于所在直线成轴对称的图形．
（）请你在图（）中添上一条线段，使图中条线段组成一个轴对称图形，画出所有情形．
（）如图（），已知和、两点，求作一点，使，且到两边的距离相等．

【答案】见解析
【解析】
【详解】
分析：（1）做BO⊥CD于点O，并延长到B′，使B′O=BO，连接AB即可；
（2）轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合．
（3）作出∠AOB的平分线；作出CD的中垂线；找到交点P即为所求．
详解：（）（）如图所示：

（）如图所示：作的中垂线和的平分线，两线交点即为点．

点睛：1）（2）两个小题考查对称轴作图，掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键；
（3）本题考查了角平分线的作法以及垂直平分线的作法，解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．
18．（1）作图题：某学校正在进行校园环境的改造工程设计， 准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）用如图（1）所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图（2）、图（3）、图（4）中各画出一种拼法．（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）

【答案】（1）图形见解析（2）图形见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）到边AB、BC的距离相等的点在∠ABC的平分线上，到点A、D的距离相等的点在线段AD 的垂直平分线上，点P即角平分线和垂直平分线的交点.
（2）根据轴对称图形的法则去画即可，有多种图形．
试题解析：（1）作出∠ABC的角平分线，作出线段AD的中垂线，交点即为点P.

（2）所作图形如下所示：