专题23 单乘多在图形计算中的应用-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

专题23 单乘多在图形计算中的应用

1．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式．

【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a，

四边形AEHF的面积为：，

四边形QPCG的面积为：，

∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，

∴，

∴，即，

故选：C．

【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键．

2．某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据各个部分的面积与总面积之间的关系可得答案．

【详解】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b），

四个部分的面积和为，

因此有2a（a+b）=2a2+2ab．

故选:A．

【点睛】本题考查单项式乘以多项式的几何背景，掌握单项式乘以多项式是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键．

3．以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是（   ）.

A．x（x+5）+15 B．x2+5（x+3）

C．（x+3）（x+5）﹣3x D．x2+8x

【答案】D

【分析】根据长方形和正方形的面积公式得出各个部分的面积，再逐个判断即可．

【详解】解：阴影部分的面积为：

或或，

即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是能用代数式表示出各个部分的面积．

4．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，正方形ABCD的边长为5，则△DEK的面积为（    ）

A．16 B．9 C．10 D．25

【答案】A

【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，可得三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积，再列式进行计算即可．

【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，则

三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积，

故选：A

【点睛】本题考查的是利用割补法求解图形面积，同时考查的是整式的乘法运算，加减运算，理解题意列出正确的运算式是解本题的关键．

5．已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，利用面积和差求出面积即可判断．

【详解】解：设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，

S1＝S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣（S△ADE+S△CDG+S△GEF）

＝m2+n2﹣[m（m+n）+ m（m﹣n）+ n2]

＝n2；

∴S1＝S2．

故选：A．

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算．

6．6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（    ）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b

【答案】D

【分析】表示出左上角和右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与BC无关即可求出a与b的关系式．

【详解】解：如图，

设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a，

则AB＝4b+a，BC＝y+2b，

∵x+a＝y+2b，

∴y﹣x＝a﹣2b，

∴S＝S2﹣S1

＝ay﹣4bx

＝ay﹣4b（y﹣a+2b）

＝（a﹣4b）y+4ab﹣8b2，

∵S始终保持不变，

∴a﹣4b＝0，

则a＝4b．

故选：D．

【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，解题的关键是弄清题意，列出面积差的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则．

7．有7个如图的长为x，宽为的小长方形，按图的方式不重叠的放在长方形ABCD中，未被覆盖的部分用阴影表示，若右下角阴影部分的面积与左上角阴影部分的面积之差为S，当BC的长度变化时，按照相同的放置方式，S始终保持不变，则x与y满足的关系式为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关，即与PC无关，即可求出x与y的关系式．

【详解】

解：左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为PC，宽，

阴影部分面积之差，

则，即．

故选C．

【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

8．已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．

【答案】     3     6.5##

【分析】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可．

【详解】解：在图1中，根据题意得：，

∴，

同理在图2中，，

∴

∴，

又∵，

∴．

又∵，即，

将代入方程中得：

解得：（舍去），

∴．

在图3中，

∴

故答案为：3；．

【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．

9．边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】

【分析】将图形补全为边长为的长方形，进而根据阴影部分面积等与长方形面积的一半减去小正方形的面积即可求解

【详解】如图，

图中阴影部分的面积为

故答案为：

【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，添加辅助线求解是解题的关键．

10．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为________．

【答案】38

【分析】由图知：阴影部分面积=，再由已知条件和完全平方公式可求得的值，从而可求得结果．

【详解】阴影部分面积=

∵，，

∴，

∴，

∴阴影部分面积．

故答案为：38．

【点睛】本题考查完全平方公式的变形应用，单项式乘多项式，关键是把阴影部分的面积表示出来．

11．一个长方形的长为2a+3b，宽为2b,则它的面积为_________．

【答案】4ab+6b2

【分析】根据长与宽的乘积为长方形的面积，即可得到结果．

【详解】解：根据题意得：2b（2a+3b）=4ab+6b2 ，

故答案是：4ab+6b2．

【点睛】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握是单项式乘以多项式法则解本题的关键．

12．一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．

(1)这个盒子的长为        ，宽为        ，高为        ；

(2)求这个无盖盒子的外表面积．

【答案】(1)米；米；米

(2)平方米

【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的倍，盒子的高＝小正方形边长；

（2）利用纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积．

（1）

解：盒子的长为：

（米）；

盒子的宽为：

（米）；

盒子的高为：a2（米）．

故答案为：米；米；米．

（2）

∵纸片的面积是：（平方米），

小正方形的面积是：（平方米），

∴无盖盒子的外表面积是：（平方米）．

∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．

【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．

13．如图是一个长方形花圃，花圃的一边靠墙，其他三边用12米长的篱笆围成．

(1)如果设花圃靠墙的一边AD＝x（米），那么AB长度是多少？（用含x式子表示）

(2)请写出长方形花圃的面积y（平方米）与长方形花圃靠墙一边的长度x（米）的关系式？

(3)当x从4米变到6米时，面积y如何变化？

【答案】(1)

(2)y＝6x－x2

(3)当x从4米变到6米时，面积y从16平方米变到18平方米

【分析】（1）根据周长的定义进行计算即可；

（2）根据面积的计算方法进行计算即可；

（3）代入求值即可．

(1)

解：（1）由于AB＋BC＋CD＝12，而BC＝x米，AB＝CD，

所以AB＝米，

答：AB的长度为米．

(2)

矩形的面积为：

(3)

当x＝4时，y＝16；当x＝6时，y＝18，

故当x从4米变到6米时，面积y从16平方米变到18平方米．

【点睛】本题主要考查了函数关系式，理解矩形的“周长”“面积”的定义以及计算方法，是解决问题的关键．

14．如图1，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a厘米的长方体形状的无盖纸盒（如图2）．如果纸盒的体积为（2a2b+ab2）立方厘米，底面长方形的宽为b厘米．

(1)求这张长方形纸板的长；

(2)将长方体形状的无盖纸盒的外表面都贴一层红色的包装纸，请求出一个这样的纸盒需要用多少平方厘米的红色包装纸．（结果都用含a，b的代数式表示）

【答案】(1)长方形纸板的长为厘米，

(2)一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸

【分析】（1）设长方形纸板的长为x厘米，然后根据长方体的体积公式列出方程求解即可；

（2）只需要求出纸盒的表面积即可得到答案．

（1）

解：设长方形纸板的长为x厘米，

由题意得：，

解得，

∴长方形纸板的长为厘米，

（2）

解：由题意得

平方厘米，

∴一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸．

【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，熟知长方体体积和表面积公式是解题的关键．

15．已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD=m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．

(1)用含m，a，b的式子表示S1和S2；

(2)若S1-S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．

【答案】(1)S1=ma-3ab，S2=4bm-4ab；

(2)a，b满足的数量关系a=4b．

【分析】（1）根据图形可得出长方形MNPD的长MD的长MD为m-3b，宽MN为a，即可得出S1的面积，长方形BEFG的长EF为m-a，宽FG为4a，即可得出S2的面积；

（2）根据（1）计算S1-S2的值与m的取值无关，即a-4b=0，即可得出答案．

（1）

解：∵MD=AD-AM=m-3b；MN=a，

∴S1=MD•MN=（m-3b）•a=ma-3ab，

∵EF=EP-FP=m-a，FG=4b，

∴S2=EF•FG=（m-a）•4b=4bm-4ab；

（2）

解：S1-S2=ma-3ab-4bm+4ab

=ab+ma-4bm

=ab+m（a-4b），

∵S1-S2的值与m的取值无关，

∴a-4b=0，

即a=4b，

所以a，b满足的数量关系a=4b．

【点睛】本题主要考查了列代数式，及整式的混合运算，根据题意列出代数式再根据法则进行计算是解决本题的关键．

16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．

（1）若两个正方形的面积之和为60，ab＝20，求图中线段GC的长；

（2）若a＝8，△AFC的面积为S，求S．

【答案】（1）；（2）32

【分析】（1）由两个正方形的面积和为60，可得 再利用 从而可得答案；

（2）先利用，可得再把代入求值即可.

【详解】解：（1）由题意得：

（2）

当时，

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，整式乘法的应用，掌握“利用完全平方公式求解代数式的值”是解题的关键.

17．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积．

【答案】，1300．

【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把代入求解即可．

【详解】解：根据题意得：

地基的面积是：，

当时，地基面积为：

．

【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．

18．如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．

（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；

（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积；

【答案】（1）；（2）60

【分析】（1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简即可；

（2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可．

【详解】（1）长方形地块的长、宽分别减小b米后的长方形长为2a+b-b=2a(米)，宽为2a-b-b=(2a-2b)米，从而要绿化的总面积为：2a(2a-2b)=(4a2-4ab)平方米；

即绿化的总面积为(4a2-4ab)平方米；

（2）当a=5，b=2时，（平方米）．

【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键．