初中数学11.2.1 三角形的内角同步练习题

专题02 三角形的内角和与外角

考点一 三角形内角和定理的证明                    考点二 与平行线有关的三角的内角和问题

考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题          考点四 三角形折叠中的角度问题

考点五 三角形内角和定理的应用                    考点六 三角形外角的定义和性质

考点一 三角形内角和定理的证明

例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝　   　；∠EAC＝　   　；∠BAC＝　   　．(在空格上填写度数）

（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．

【变式训练】

1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．

小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：

①画出命题对应的几何图形；

②写出已知，求证；

③受拼接方法的启发画出辅助线；

④写出证明过程．

请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．

2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

考点二 与平行线有关的三角的内角和问题

例题：（2022·山东泰安·一模）如图，ABCD，分别与，交于点，．若，，则______．

【变式训练】

1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线，被直线，所截．若//，，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．

考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题

例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P，若∠P=125°，则∠A=_____°

【变式训练】

1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在中，AD是高，AE是角平分线．

(1)若，，求的度数；

(2)若，求的度数．

2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，中，于点D，E为AC上任意一点，连接BE交AD于点F．

(1)若，求证：BE平分．

(2)如图2，在（1）的条件下，若，请直接写出图中所有直角三角形．

考点四 三角形折叠中的角度问题

例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外的点处．若，则的度数为（       ）

A．115° B．100° C．105° D．95°

【变式训练】

1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（       ）.

A．22° B．21° C．20° D．19°

2．（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）如图 1，△ABC 中，D 是 AC 边上的点，先将 ABD 沿看 BD 翻折，使点 A 落在点A＇处，且 A′D∥BC，A′B 交 AC 于点 E（如图 2），又将△BCE 沿着 A′B 翻折，使点 C 落在点 C′处，若点C′恰好落在 BD 上（如图 3），且∠C′EB=75°，则∠C= ___°

考点五 三角形内角和定理的应用

例题：（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（       ）

A．95° B．115° C．105° D．125°

【变式训练】

1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接．的平分线交于点C，连接，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E，若，，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，，

(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；

(2)若，，求的度数．

考点六 三角形外角的定义和性质

例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知，一条光线从点出发后射向边．若光线与边垂直，则光线沿原路返回到点，此时．当时，光线射到边上的点后，经反射到线段上的点，易知若，光线又会沿原路返回到点，此时______ °．若光线从点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点，则锐角的最小值______ °．

【变式训练】

1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为_____．

2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝55°，∠D＝40°，则∠BPD＝     　°；

(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为                 　；

(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为                  　；

(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　        　°．

一、选择题

1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）在△ABC中，，则△ABC的形状是（     ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定

2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CDAB，∠DCB=40°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°

3．（2022·全国·八年级）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（       ）

A．134° B．124° C．114° D．104°

4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（       ）

A．108° B．104° C．96° D．92°

5．（2022·山西实验中学七年级期中）两束与地面平行的光线AB，CD经镜面a，b反射之后交于点G，镜面a，b与地面的夹角分别为∠1，∠2，已知∠1=25°，∠2=40°（由光的反射性质可知入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），则两条反射光线的夹角（∠DGH）的度数为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

6．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知∠ABE＝130°，∠C＝70°，则∠A=________；

7．（2021·上海市民办华育中学七年级期末）如图，与是的两个外角，平分交的平分线于点.若，则________．

8．（2022·江苏泰州·二模）已知直线ab，把一块含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝23°，则∠2＝_________°．

9．（2022·重庆南开中学七年级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°．

10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点的位置，且点与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知，，若的一边与BC平行，且，则m=______．

三、解答题

11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．

(1)求的大小；

(2)若，求的大小．

12．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期末）如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°

(1)证明：ADEF．

(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．

13．（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，在中，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且．

(1)与平行吗？为什么？

(2)如果，请用含的代数式表示的度数．

14．（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期中）综合与探究：如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

(1)求∠ABN、∠CBD的度数；

(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．

15．（2022·湖南娄底·七年级期末）

(1)（问题）   如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；

(2)（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；

(3)（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．

16．（2022·河北·承德市民族中学七年级期末）（1）已知中，，于，平分，，，求的度数．

（2）在图2中，，，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，试用、表示________；

（3）在图3中，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用、表示________；

（4）在图4中，分别作出和的角平分线，交于点，如图4．试用、表示________．