初中数学第十二章 全等三角形12.1 全等三角形习题

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专题06 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型

模型构建一 四边形中构造全等三角形解题 模型构建二 一线三等角模型
模型构建三 三垂直模型 模型构建四 倍长中线模型
典型例题


模型构建一 四边形中构造全等三角形解题

例题：（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证△ABD≌△CBD，即可证得结论．
【详解】
证明：如图：连接BD，
∵在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A．

【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS证明三角形全等是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．

(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，

在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．
（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．
(1)
证明：，，，
，
又，
，
在和中，

，
．
(2)
解：如图，连接，

猜想、、之间的数量关系为：．
证明：在和中，
，
，
，
又，
，，
由（1），可得，
，
，
即，
，
在和中，

，
，
又，，
；
(3)
解：要使仍然成立，
则，
即，
当时，仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．



模型构建二 一线三等角模型

例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E．

(1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度．
(2)当DC的长度是多少时，，并说明理由．
【答案】(1)小；140
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和即可得出结论；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
(1)
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
设∠BAD=x°，∠BDA=y°，
∴40°+x+y=180°，
∴y=140-x（0＜x＜100），
当点D从点B向C运动时，x增大，
∴y减小，
+=180°-
故答案为：小，140；
(2)
当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．

(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
(1)
证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
(2)
解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，中，．点、、分别是、、边上的点，．

（1）若，求证：；
（2）若，，，求的长：
（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则；这个命题是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，见解析
【解析】
【分析】
(1)证明即可；
(2)求出，由已知及三角形内角和定理得到，进而证明，即可得到；
(3)过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解．
【详解】
解：(1)如图1所示：

由三角形的外角定理可知：，
且，，
，
在和中，，
，
；
(2)，，
，
在中，由三角形内角和定理可知：
，且．

又，
，
同(1)可知：，
；
(3)成立，理由如下：
过点、分别作于点M，于点N，如图2所示：

，，
，
又，
在和中，
．
，
又，
，
，
又，．
．
即若，则此命题成立．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．
3．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．
（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．

【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，利用ASA即可证明△ABE≌△CAF；
（2）同（1）证明△ABE≌△CAF，推出S△ABE＝S△CAF，S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，根据CD＝2BD可知，计算求解即可．
【详解】
解：（1）证明如下：
∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（ASA）
∴S△ABE＝S△CAF，
∴S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，
∵CD＝2BD，△ABC的面积为15，
∴S△ACD＝S△ACD＝S△ABC＝，
∴S△ABE+S△CDF＝10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．

(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】
【分析】
（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．
(1)
解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
(2)
DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
(3)
解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．


模型构建三 三垂直模型

例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D．
（1）求证：△BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的长．

【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．
【详解】
解：（1）证明：∵BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D，
∴∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵AC = BC，
∴≌；
（2）由（1）知，≌，
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD =12， BE =5，
∴CE=12，CD=5，
∴ED=CE－CD=12－5=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E．

(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝　 　；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【答案】(1)BD﹣EC
(2)BD＝DE﹣CE．见解析
(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【解析】
【分析】
（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，进而即可求得关系式；
（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；
（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．
(1)
结论：DE＝BD﹣EC．
理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣EC．
故答案为：BD﹣EC；
(2)
结论：BD＝DE﹣CE．
理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE；
(3)
归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   
∵   ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB   
∵在△DCA和△EAB中

∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°                      
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB                    
∵在△DCA和△EAB中

∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）

【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．

【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．

模型构建四 倍长中线模型
例题：（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
【答案】3＜m＜13
【解析】
【分析】
延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
【变式训练】
1．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________．

【答案】1＜AD＜7
【解析】
【分析】
延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中,
，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=6，AC=8，
∴8-6