人教版八年级上册12.1 全等三角形课后练习题

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形课后练习题，文件包含八年级数学上册专项04全等三角形基本模型4大模型原卷版docx、八年级数学上册专项04全等三角形基本模型4大模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
专项04  全等三角形基本模型（4大模型）模型一：平移型                模型二：翻折型              模型三：旋转型               模型四：一线三垂直型                                    【类型一：平移型】【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证：    .  【解答】证明： ，即 .∴在 和 中， . 【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．【解答】证明：∵，∴在和中∵∴∴． 【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：在和中，【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：．【解答】证明：∵，∴即，在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴AC=DF．【类型二：翻折型】【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．【解答】解：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠DBC，在△BAC和△BDC中，∴△BAC≌△BDC，∴AC＝DC．【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ．  求证： ．【解答】证明：∵ 是 的角平分线（已知），   ∴ （角平分线定义），在 与 中，∵∴ ．【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．【解答】解：在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠B=∠C．【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.【解答】证明：如图，记的交点为O，∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB＝DC.【类型三：旋转型】【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，∴∠B=∠D=90°．在△ABO和△EDO中，∴△ABO≌△EDO．【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．【解答】证明：在△ABE和△DCE中   ，  ∴△ABE≌△DCE（SAS）【典例4】如图，，，，求证：.【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴.【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，∵AE＝AB，AC=AF，∴△EAF≌△BAC，∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF≌△BAC， ∴∠AEF=∠ABC＝65°，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABC＝65°，∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.【类型四：一线三垂直型】【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：∠BAC＝90°．【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l， ∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，， ∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），∴BM＝AN，CN＝AM，∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA， ∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【变式5-2】在 中，  ，  ，直线  经过点  ，且  于  ，  于  .（1）当直线 绕点  旋转到图1的位置时，  ①求证：   ≌   ；②求证：   ；（2）当直线 绕点  旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.【解答】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，  ∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，又∵AC=BC，∴ ≌   ；②∵ ≌   ，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE+CD，∴DE=AD+BE；（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：  ∵BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，又∵AC=BC，∴ ≌   ，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CE－CD，∴DE=AD－BE. 1．如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．【解答】证明：∵，∴，在和△CDE中，，∴．2．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．【解答】证明：∵DC∥AB，∴∠D=∠B，在△COD与△AOB中，，∴△COD≌△AOB（AAS），∴DC=AB．3．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BＦ＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF．4．如图，等边的内部有一点D，连接BD，以BD为边作等边，连接AD，CE，求证：．【解答】证明：∵ABC和DBE为等边三角形∴∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC即∠ABD=∠CBE在ABD和CBE中∴AD=CE5．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.【解答】证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.6．如图，点 在一条直线上， ，求证： . 【解答】证明： ∴  即 在△ABE和△DCF中 ∴△ABE≌△DCF．∴7．如图，已知AB、CD相交于点O，且AD=CB，AB=CD．求证：∠A=∠C．【解答】证明：连接BD，如图， 在△ABD和△CDB中，∵AD=CB，AB=CD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A=∠C．8．已知：如图，A、C、F、D在同一条直线上，且ABDE，AF＝DC，AB＝DE，求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AD+CF＝CF+DF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（SAS）．9．如图：点E、F在BC上， ， ， ，AF与DE交于点G.过点G作 ，垂足为H. （1）求证： （2）求证： 【解答】（1）证明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS）.（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DEC，
∴EG=GF，
∵GH⊥BC，
∴∠EGH=∠FGH.10．如图，AD平分 . （1）求证： ：（2）若 ，求 的度数.【解答】（1）证明： 平分 . 又 （2）解： . 又 .又 .又 .11．如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．（1）求证：；（2）若，求BE的长．【解答】（1）证明：∵是的外角，∴．又∵，∴．（2）解：在和中，，∴≌．∴．∵，∴．12．如图，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点．求证：（1）；（2）．【解答】（1）解：，，，，，即，在和中，（2）解：由（1）全等可知：，，，13．如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△DBE．（2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD，∴∠ABD＝∠AED，又∵∠AED＝∠CBE，∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC和△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C，∵∠CBE＝50°，∴∠BEC＝∠C＝65°．14．已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：（1）AE∥FB，（1）DE=CF.【解答】（1）证明：在△ADE和△BCF中，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴DE=CF． 15．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．（1）求证：∠ABE=∠CAD（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC， ∴BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠HBD＝∠CAD，∵∠HBD＝∠ABE，∴∠ABE=∠CAD（2）解：AB＝BD+DH 理由是：∵在△BDH和△ADC中 ∴△BDH≌△ADC（ASA），∴DH＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DH，∵AB＝BC，∴AB＝BD+DH．16．如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为　     　（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【解答】（1）证明：如图1， ∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中， ，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）α（3）解：△CPQ为等腰直角三角形 证明：如图2，由（1）可得，BE=AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP=BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB=90°，∴∠BCQ+∠PCB=90°，∴∠PCQ=90°，∴△CPQ为等腰直角三角形.