数学第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式课时作业

专项19  完全平方公式的几何背景（两大类型）

【典例1】（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　  　；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①　      ；方法②　               ；

（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．

【变式1-1】（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（　　）

A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 

B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 

C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2 

D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2

【变式1-2】（2022秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．1  1 C．12 D．13

【变式1-3】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　）

A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2

【典例2】（2022春•双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．

解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，

∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．

请仿照上面的方法求解下面问题：

（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；

（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；

（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

【变式2】（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．

解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80

解决问题：

（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　 ；

（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；

（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　  　平方单位．

1．（2022春•盱眙县期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（　　）

A．4 B．6 C．7 D．8

2．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．10 B．20 C．40 D．80

3．（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（　　）

A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 

C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2

4．（2022春•新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；

（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b） 2，ab之间的等量关系；

（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．

5．（2022秋•上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；

（2）利用你发现的结论，解决下列问题：

①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．

②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；

③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是 　    　．

6．（2022春•顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．

（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：　         　.方法②：　    　.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：　             ．

（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．

7．（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．

（1）图2中阴影部分的面积可表示为 　   　；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为 　             　．

（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，则x﹣y＝　  　．

（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求的值．

8．（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．

（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）

（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．

9．（2022•平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．

（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；

（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值．

10．（2022春•江都区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．

例如，由图①，从整体看，是一个面积为可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

（1）（i）由图②，可得等式：　                　；

（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝　   　；

（2）如图③，将边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积；

（3）图④中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．

（i）请用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图①②画出拼法并标注a、b；

（ii）结合（i）拼图试着分解因式2a2+5ab+2b2．

11．（2022秋•高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；

（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．