初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形课后复习题

这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形课后复习题，文件包含八年级数学上册全等三角形综合训练一原卷版docx、八年级数学上册全等三角形综合训练一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
全等三角形综合训练（一）
1．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线PQ过点A且PQ//BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线PQ上（不与点A重合）．

(1)如图1，DE与AC交于点M，若DF⊥PQ于点D交AB于点F，求证：△BDF≌△MDA；
(2)在图2中，DE与CA延长线交于点M，试猜想线段BD、ED、EM的数量关系，并证明你的猜想．
(3)在图3中，DE与AC延长线交于点M，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)BD＝ED−EM，证明见解析；
(3)成立，证明见解析．
【解析】（1）
证明：如图1，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵PQ∥CB，
∴∠DAF＝∠ABC＝45°，
∴，
∵DF⊥PQ，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DA＝DF，，，
∵∠1＋∠FDE＝90°，∠FDE＋∠2＝90°，  
∴∠1＝∠2，
在△BDF与△MDA中，，
∴△BDF≌△MDA（ASA）；
（2）
解：结论：BD＝ED−EM．
证明：如图2，过点D作DF⊥PQ，交AB的延长线于点F，由（1）知∠DAF＝∠ABC＝45°，则△ADF为等腰直角三角形，，

∴DA＝DF，，
∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2．
在△BDF与△MDA中，，
∴△BDF≌△MDA（ASA），
∴BD＝DM＝ED−EM；  
（3）
解：结论成立．
证明：如图3，过点D作DF⊥PQ，交AB的延长线于点F，

∵PQ∥CB，
∴∠FAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADF为等腰直角三角形，，
∴DA＝DF，，  
∵∠BDF＝∠BDA＋∠ADF，∠MDA＝∠BDM＋∠ADB，且∠ADF＝∠BDM＝90°，
∴，
在△BDF与△MDA中，，
∴△BDF≌△MDA（ASA），
∴BD＝DM＝ED−EM．
2．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．

(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）
(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；
(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)仍成立，见解析
(3)
(4)四边形的面积为32
【解析】（1）
如图1：由为平分线上一点，于，于，
，
在中，
，
，；

（2）仍成立
点为平分线上一点，
又于，于，
，
又



（3）；
,
又 点为平分线上一点，
即AP平分，
，
，
，

（4）四边形的面积为32
点为平分线上一点，

又于，于，

又


（已证）

又

，且



3．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
【答案】(1)EF=BE+FD
(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；
(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．
【解析】（1）
解：EF=BE+FD．
延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，

∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．
∴∠GAF=∠EAF=60°．
又∵AF=AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG=EF．
∵FG=DF+DG．
∴EF=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD；
（2）
解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．

∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，
∴EF=BE+DF；
（3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD．
证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，
∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．
4．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为（s）．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当=1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分别说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为cm/s，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析
(2)存在或，使得△ACP与△BPQ全等
【解析】（1）
解：当t=1时，AP=BQ=1cm，
∵AB=4cm，
∴BP=AB-AP=3cm，
又AC=3cm，
∴BP=AC又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）
存在，理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
5．（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．

（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．

（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．

【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：

∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：

∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴×6•AE＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∴S△BCD＝CD•BF＝6．
6．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．

(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见详解
(3)，
【解析】（1）
，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，
∴四边形OCPD的内角和为360°，
同理，四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（2）
成立，理由如下：
过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（3）
成立，，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证．
7．在我们的数学课本上有这样一道练习题：
已知，如图1所示，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明．

(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍．
(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：
已知，如图2，△ABC、△DEC均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，连接BE、AD，过C点作CP⊥BE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理由．
【答案】(1)DE=BD+CE，理由见解析
(2)点Q为AD的中点，理由见解析
【解析】（1）
DE=BD+CE，
证明：∵由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD与△CEA中，
，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，DA=CE，
∵DE=DA+AE，
∴DE=BD+CE．
（2）
点Q为AD的中点．理由如下：
作AM垂直CQ的延长线于点M，作DN⊥CQ，垂足为N，

∴∠ACB=90，∠BPC=90°，
∴∠ACM+∠BCP=90°，∠BCP+∠CBP=90°，
∴∠ACM=∠CBP，
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△CBP（AAS），
∴AM=CP，
同理可证△DCN≌△CEP，
∴DN=CP，
∴AM=DN，
又∵∠AMQ=∠DNQ，
∴∠AQM=∠DQN，
在△AMQ与△DNQ中，
，
∴△AMQ≌△DNQ（AAS），
∴AQ=DQ，
即Q为AD中点．
8．（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．

【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD＝DE+CE，理由见解析；（3）（1）的结论成立，证明见解析．
【详解】解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
9．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：．

(2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分．

(3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：．

【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）
证明：∵，
∴
∵AD为的中线，
∴，
在和中，
        
∴，
∴．
（2）
证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H．

又∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴
在和中，
    
∴，
∴，
∴，
∴DE平分；
（3）
证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H．

∵，AE平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
        
∴，∴，，
又∵，，∴，
∵，，∴，
在和中，
    
∴，∴，，
在和中，        
∴，∴，
∴，即，
∵，∴．
10．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，．

(1)求证；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，过G作交直线MN于点H，求证；

(3)如图3，点P为直线AB，CD之间一点，EQ，FQ分别平分和，探究与之间的数量关系，并证明．

【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【解析】（1）
证明：
∵∠1+∠2=180°，
又∵，
∴，
∴AB∥CD
（2）
证明： 由（1）知， AB∥CD
∴．
又∵与的角平分线交于点P，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
（3）
，证明如下：
如图，

∵AB∥CD，FQ平分，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∵，
∴．
11．在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．

(1)如图1，当点在边上时，
①若时，则____________°；
②若时，则____________°；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①140；②100；③，理由见解析
(2)，理由见解析
【解析】(1)
①∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴，
∴，

∴，
当时，．
故答案为：140．
②由①可得：，
当时，．
故答案为：100．
③．
方法一：
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴，
∴．

方法二：
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
即．

(2)
．
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴．

12．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．

(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，或
【解析】（1）证明：∵BD⊥AC，∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，

∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．

∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，

∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，∴，∴，
∴，∴．
②存在，理由如下：当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，

∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，

由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
13．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______；
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）；（2）见详解（3），证明见详解
【详解】解：（1）如图1，∵是边上的中线，∴，
又∵，，∴，∴，
∵，即，∴．
故答案为：；
（2）如图4，延长ED到H，使得，连接DH、FH，

∵，，，∴，∴，
∵，，∴，
∵在中，，∴；
（3）结论：．证明：如图5，延长BC至H，使得，连接DH，

∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
14．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°．

(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3)见解析
【解析】（1）证明：如图1中，

在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠CBD，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．
（2）
解：成立．
理由：如图2，

∵
∴
∴
在和中

∴
∴
∵
∴
∴
（3）
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，
∴，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．