人教版八年级上册12.1 全等三角形同步训练题

全等变化模型三    角平分线模型

【模型展示】

【模型条件】如图1，

                如图2，

                如图3，

【模型结论】

【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一直线翻折而得；

            从图形的结构分析，是一个角的角平分线，再取一组对应边或者对应角相等，即可得到全等三角形。

【知识链接】三角形角平分线定理，等腰三角形三线合一

【模型总结】

①如图1，角平分线上的点到角的两边距离相等（角平分线定理）；

②如图2，等腰三角形的角平分线垂直平分底边（等腰三角形三线合一）；

③如图2，如果一个三角形的高线、中线、角平分线有两条重合，那么这个三角形是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。

【模型巩固】

【例3-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．

【例3-2】如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，求证：BC＝BE+CD．

【例3-3】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．

（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．

【例3-4】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．

【例3-5】在中，、分别平分和，和相交于点，若．

求证：．

【例3-6】如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（　　）

A．（m﹣60）° B．（180﹣2m）° C．（2m﹣90）° D．（120﹣m）°

【模型拓展】

【拓展3-1】在中，，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接．，．

（1）求证：；

（2）平分交于点，点是线段延长线上一点，连接，点是线段上一点，连接交于点，连接．当平分时，求证：．

【拓展3-2】在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接．

（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，的平分线交于点，交于点，连接．

①补全图2；

②若，求证：．

【拓展3-3】已知：在中，是边的高，为的角平分线，且．为的中线，延长到点．使得．连接．交于点．交于点．

（1）求证：；

（2）若．求证：．

【拓展3-4】在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当时，在上取点，使．求证：是等边三角形；

（3）如图3，当，且时，求证：．