初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形随堂练习题

全等变化模型八    手拉手模型

【模型展示】

【模型条件】

【模型结论】

【模型应用】

（1）、AD=BE 

（2）、∠ACB=∠AOB 

（3）、△PCQ为等边三角形

（4）、PQ∥AE

（5）、AP=BQ 

（6）、CO平分∠AOE

（7）、OA=OB+OC

（8）、OE=OC+OD

请对以上结论（5）、结论（6）结论（7）进行证明。

【模型巩固】

【例8-1】如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，

∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，

∴∠ABD＝∠CBE．

在△ADB和△CEB中，

，

∴△ADB≌△CEB（SAS），

∴AD＝CE；

（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，

∵∠AFC＝45°，

∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，

∵△ADB≌△CEB，

∴∠BAD＝∠BCE＝15°，

∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．

【例8-2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∴∠ACD＝120°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠DCE＝60°，

∴∠B＝∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：

由（1）得：△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴△ADE为等边三角形．

【例8-3】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求证：CH平分∠AHE；

（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAM＝∠CBN，

在△ACM和△BCN中，

，

∴△ACM≌△BCN（AAS），

∴CM＝CN，

∴CH平分∠AHE；

（3）∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

∴∠AHB＝∠ACB＝α，

∴∠AHE＝180°﹣α，

∴∠CHE＝∠AHE＝90°﹣α．

【例8-4】如图1，点为直线上一动点，，都是等边三角形，连接

（1）求证：；

（2）分别写出点在如图2和图3所示位置时，线段、、三者之间的数量关系（不需证明）；

（3）如图4，当时，证明：．

【解答】（1）证明：和是等边三角形，

，，，

，

．

在中

，

，

．

（2）解：图2中；

图3中．

（3）证明：和是等边三角形，

，，

，

，

，

，

．

【例8-5】如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．（1）当时，试判断的形状，并说明理由；

（2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？

【解答】

解：（1）是等边三角形，

，

而是等边三角形，

，

，

，

在与中，

，

，

，

而，，

，

是直角三角形；

（2）设，，，，

则，，，

，

，

，

即，

①要使，需，

，

；

②要使，需，

；

③要使，需，

，

．

所以当为、、时，三角形是等腰三角形．

【模型拓展】

【拓展8-1】已知，在和中，，，，且，，三点在同一条直线上．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接、并延长交于点．当时，判断的形状，并说明理由；

（3）如图3，过点作，垂足为，若，，当时，求的长．

【解答】（1）证明：，，，

，

；

（2）解：是等边三角形．

理由如下：

，

，

，，

，

是等边三角形；

（3）在上取点，使，连接，

，，，

，

，

由（1）可知，

，

，

由（2）可知，当时，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【拓展8-2】如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0．

（1）求点D的坐标；

（2）求∠AKO的度数；

（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．

【解答】解：（1）∵（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0，

又∵（m﹣2n）2≥0，|n﹣2|≥0，

∴n＝2，m＝4，

∴点D坐标为（4，2）．

（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．

∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴EO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），

∴OK平分∠BKC，

∴∠OBD＝∠OAC，易证∠AKB＝∠BOA＝90°，

∴∠OKE＝45°，∴∠AKO＝135°．

（3）结论：BM＝MN+ON．

理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．

∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，

∴△AOQ≌△BOP，

∴∠OBP＝∠OAQ，

∵∠OBA＝∠OAB＝45°，

∴∠ABP＝∠BAQ，

∵NM⊥AQ，BM⊥ON，

∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，

∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，

∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，

∴△BNH≌△BNO，

∴HN＝NO，∠H＝∠BON，

∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，

∴∠HBM＝∠BON＝∠H，

∴MH＝MB，

∴BM＝MN+NH＝MN+ON.

【拓展8-3】以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．

（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；

（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；

（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　         　．

【解答】解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝α，

∴∠EAC＝∠BAD，

在△AEC和△ABD中，，

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴∠AEC＝∠ABD，

∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB，

∴∠EMB＝∠EAB＝40°；

（2）连接AG，AH，

由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB，

∵G、H分别是EC、BD的中点，

∴DH＝CG，

在△ACG和△ADH中，，

∴△ACG≌△ADH（SAS），

∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，

∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH，

∴∠GAH＝∠DAC，

∵∠DAC＝α，∴∠GAH＝α，

∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°，

∴∠AHG＝90°﹣α；

（3）如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，

∵△ACE≌△ADB，

∴S△ACE＝S△ADB，EC＝BD，

∵EC×AP＝×BD×AN，

∴AP＝AN，

又∵AP⊥EC，AN⊥BD，

∴∠AME＝∠AMD＝，

∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+α，

故答案为：90°+α．

【拓展8-4】如图，在和中，，，．过点作交于点．

（1）如图1，当点、、在同一条线上时，

①求证：；②求的度数；

（2）如图2，连接并延长至点，使，连接、，试判断形状，并说明理由．

【解答】（1）①证明：，，

，

，

，

，，

，，

；

②如图1中，

，

，

在和中，，

，

，

，

，

，

，

；

（2）结论：是等腰直角三角形．

理由：如图2中，延长交的延长线于点，交于点．

在和中，，

，

，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形．

【拓展8-5】如图1，已知等腰，，，于点，点是线段上一点，点是延长线上一点，且．

（1）当点与点重合时，即，如图2，求的度数；

（2）求证：；

（3）求证：．

【解答】（1）解：如图1，，，

，

于点，，

，，

，

，是等边三角形，

；

（2）证明：，，

，

，，

垂直平分，

连接，则，

，

，，

，，

，

；

（3）证明：由（2）知：，

，

，

，

，

，

为等边三角形，

在边上取一点，使得，

为等边三角形，

，，，

，

，

．