初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边课后测评

这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边课后测评，文件包含八年级数学上册1111三角形的边原卷版-2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx、八年级数学上册1111三角形的边解析版-2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
11.1.1 三角形的边

题型导航



三
角
形
的
边

三角形的个数问题
题型1
三角形的分类
题型2
构成三角形的条件
题型3
确定第三边的取值范围
题型4
三角形三边关系的应用
题型5



题型变式

【题型1】三角形的个数问题
1．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（       ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．
【详解】
解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．

【变式1-1】
2．（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．

【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意画出所有三角形，然后判断直角三角形即可．
【详解】
：一共可以画出9个三角形：△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△BCE、△BCD、△ADE、△BDE、△CDE，

直角三角形有：△ABE、△EBC、△AED，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了网格中判断直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键．

【题型2】三角形的分类
1．（2022·河北唐山·一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（       ）


A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形按角分类的方法进行判断即可．
【详解】
观察图形可知：图中的三角形有两个锐角，且第三个角也小于90度，由此判定为锐角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【变式2-1】
2．（2021·河北沧州·八年级期中）下图是钝角三角形的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，依次进行判断即可．
【详解】
解：依据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，
选项中只有B选项中的三角形含有钝角，
∴B为钝角三角形，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查钝角三角形的定义，理解定义是解题关键．

【题型3】构成三角形的条件
1．（2022·山东济南·七年级期末）下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，7，12 D．6，8，10
【答案】C
【解析】
【分析】
判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】
解：A.，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；
B. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；
C. ，∴不能组成三角形，故选项错误，符合题意；
D. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．

【变式3-1】
2．（2022·江苏连云港·七年级期末）如果三条线段长度为，1，3（为整数），且这三条线段能首尾依次相接组成三角形，那么的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据构成三角形的三条边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围，即可作答．
【详解】
根据题意有：，
即，
∵a为整数，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了构成三角形三边的条件的知识，求出a的取值范围是解答本题的关键．

【题型4】确定第三边的取值范围
1．（2022·河南南阳·七年级期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（       ）
A．2 B．4 C．7 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【详解】
设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．
由于这个三角形的周长为a+12，而且周长是偶数，
∴a为偶数，可以为4、6、8、10．
故选：B．
【点睛】
本题从边的方面考查三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．

【变式4-1】
2．（2022·陕西榆林·七年级期末）若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的最大值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系定理得出5-3＜a＜5+3，求出即可．
【详解】
解：由三角形三边关系定理得：5-3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的最大整数a的值是7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出2＜a＜8是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．

【题型5】三角形三边关系的应用
1．（2022·湖南衡阳·七年级期末）等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（       ）
A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．13cm
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，并且要用三角形的三边关系进行验证即可．
【详解】
解：当4为底时，则三角形的周长为：4+9+9=22cm；
当9为底时，4、4、9不能构成三角形；
综上分析可知，该三角形的周长为22cm，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是要合理运用三角形的三边关系．

【变式5-1】
2．（2022·江西抚州·七年级期末）已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足．则这个等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
首先依据非负数的性质求得a，b的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【详解】
解：∵
∴，
解得，
3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、7，
∵，
∴不能组成三角形，
3是底边时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，周长＝，
所以，三角形的周长为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．


专项训练

一．选择题
1．（2022·江苏·七年级专题练习）如果三角形的两边长分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（       ）
A．6 B．7 C．5 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
设第三边的长为 ，根据三角形的三边关系，可得，再由它的周长为偶数，即可求解．
【详解】
解：设第三边的长为 ，根据题意得：
，即 ，
∵它的周长为偶数，
∴当 时，周长为 ，是偶数．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
2．（2018·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
详解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选B．
点睛：本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
3．（2021·全国·八年级课时练习）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是
A．19cm B．23cm C．19cm或23cm D．18cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.）
【详解】
根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论.
4．（2020·浙江绍兴·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】
①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
【点睛】
此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.
5．（2022·江苏无锡·七年级期末）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．
【详解】
解：根据题意，可得，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．
6．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期末）如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则 BD 的长度的取值范围是（       ）

A．大于 4cm B．小于 6cm
C．大于 4cm 或小于 6cm D．大于 4cm 且小于 6cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系可直接进行求解．
【详解】
解：由AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，可知：BD 的长度的取值范围是大于 4cm 且小于 6cm；
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC，a＝6，b＝10，则第三边c的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得10﹣6＜c＜6+10，即4＜c＜16，
故答案为：4＜c＜16．
【点睛】
考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
8．（2020·全国·七年级课时练习）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边是4和2012，则满足上述条件的三角形的个数是_______个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围后，根据周长是偶数舍去不合题意的值即可．
【详解】
设第三边是x，则2008＜x＜2016．
而三角形的周长是偶数，故x为偶数，
因而x=2010或2012或2014，
满足条件的三角形共有3个．
故答案为：3个．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．（2022·江苏·八年级）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画___________个直角三角形．

【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意画出所有三角形，然后判断直角三角形即可．
【详解】
：一共可以画出9个三角形：△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△BCE、△BCD、△ADE、△BDE、△CDE，

直角三角形有：△ABE、△EBC、△AED，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了网格中判断直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2018·甘肃陇南·中考真题）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【详解】
∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
11．（2021·全国·七年级课时练习）如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
【答案】10 【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．
【详解】
设第三边长为x，
∵有两条边分别为3和5，
∴5-3 解得2 ∴2+3+5 ∵周长L=x+3+5,
∴10 故答案为: 10 【点睛】
此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．
三、解答题
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由．
【答案】能，理由见解析
【解析】
【分析】
根据三线段构成三角形的条件即可判断．
【详解】
∵是最长线段，而
∴以这三条线段为边能构成三角形
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形．
13．（2021·湖南邵阳·八年级期中）已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c的值；
（2）判断的形状．
【答案】（1）4或6；（2）等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可；
（2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果；
【详解】
（1）∵的周长为，且周长小于18，即，．
又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数，
∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6．
∵当时，，不能构成三角形，故舍去，
∴c的值为4或6．
（2）由（1）得当时，有；当时，有，
为等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键．
14．（2020·湖北·荆州市实验中学八年级阶段练习）已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．
【答案】8＜c＜14                                 
【解析】
【详解】
试题分析：根据算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得答案．
试题解析：
∵（a﹣6）2+|b﹣8|=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，
∴a=6，b=8，
b﹣a＜c＜a+b，
这个三角形的最长边c，
c＞b=8，
8＜c＜14 .
15．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）已知，，，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【答案】（1）a＞b＞c；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；
（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】
（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c= m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c；
（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【点睛】
本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．
16．（2021·全国·八年级专题练习）已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
【答案】（1）的周长；（2），或．
【解析】
【分析】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．
【详解】
解：（1）的三边长分别为，，，
，即，
的周长，
即：的周长；
（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，
的值为，或．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
17．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）
①，，②，，③，，④，，
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，（x为整数）求x的值．
【答案】（1）②；（2）10、12、13或14．
【解析】
【分析】
（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案；
（2）分别讨论>16>，16>>，>>16三种情况；利用“不均衡三角形”的定义列不等式可求出x的取值范围，结合x为整数即可得答案．
【详解】
（1）①∵1+2<4，
∴不能组成三角形，不符合题意，
②∵18-13>13-9，
∴能组成“不均衡三角形”，符合题意，
③∵有两条相等的边，
∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，
④∵9-8<8-6，
∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，
故答案为：②
（2）当>16>，即7 ∵“不均衡三角形”三边分别为，16，，
∴，
解得：x>9，
∴9 ∵x为整数，
∴x=10，
当16>>，即x<7时，
∵“不均衡三角形”三边分别为，16，，
∴，即，
∴此不等式组无解，
∴此种情况不存在，
当>>16，即x>11时，
，
解得：x<15，
∴11 ∵x为整数，
∴x的值为12或13或14，
综上所述：x的值为10、12、13或14．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．