初中数学人教版八年级上册11.3.1 多边形当堂检测题

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

11.3    多边形及其内角和

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题型变式

【题型1】多边形的内角和问题

1．（2022·福建省福州延安中学七年级期末）下列平面图形中，内角和是1080°的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝1080°，求出n即可．

【详解】

解：设多边形的边数为n，

则（n﹣2）•180°＝1080°，

n﹣2＝6，

n＝8，

所以这个多边形的边数为8，

故选为：C．

【点睛】

本题考查了多边形的内角，能熟记边数为n的多边形的内角和＝（n﹣2）×180°是解此题的关键．

【变式1-1】

2．（2022·浙江温州·八年级期末）已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数是_______．

【答案】7##七

【解析】

【分析】

根据多边形内角和定理：（n﹣2）×180°，列方程解答出即可．

【详解】

设这个多边形的边数为n，

根据多边形内角和定理得，

（n﹣2）×180°＝900°，

解得n＝7．

故答案为：7．

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和定理的应用，熟练掌握知识点并准确计算是解题的关键．

【题型2】正多边形的内角问题

2．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则________度．

【答案】72

【解析】

【分析】

首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质即可求解．

【详解】

∵五边形ABCDE为正五边形，

∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，

∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，

故答案为：72．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键．

【变式2-1】

2．（2022·广东梅州·八年级期末）若正多边形的一个外角的度数为40°，则这个正多边形是______边形．

【答案】九##9

【解析】

【分析】

利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．

【详解】

解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，

据此可得=40，

解得n=9．

故答案为：九．

【点睛】

本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．

【题型3】多边形的外角问题

1．（2022·辽宁朝阳·八年级期末）一个多边形的每个外角是60°，则该多边形边数是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

设该多边形边数为n，则就有n个外角，根据外角和等于360°即可求出n的值，进而可得答案．

【详解】

解：设该多边形边数为n，则就有n个外角，则

，解得，

∴该多边形边数是6，

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．

【变式3-1】

2．（2022·广东深圳·八年级期末）五边形的外角和是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据多边形的外角和都为解答即可．

【详解】

解：∵多边形的外角和都为，

∴五边形的外角和是，

故选：A．

【点睛】

本题考查多边形的外角和，解题关键是掌握相关的概念与定理．

【题型4】多边形外角和实际应用

1．（2022·吉林省实验中学七年级期中）只用下面四种正多边形中的一种不能铺满地面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出各个正多边形的每个内角的度数，再找出不能被整除的即可得．

【详解】

解：A、正六边形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意；

B、正五边形的每个内角的度数为，且，则不能铺满地面，此项符合题意；

C、正四边形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意；

D、正三角形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了正多边形的内角和问题，理解题意，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键．

【变式4-1】

2．（福建省宁德市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中______．

【答案】##36度

【解析】

【分析】

根据五边形的外角可得，根据三角形的内角和定理即可求解．

【详解】

解：∵由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，

∴，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形的外角，三角形内角和定理，掌握正多边形的外角和为360°且每一个外角都相等是解题的关键．

专项训练

一．选择题

1．（2021·全国·八年级课时练习）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的内角和是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用多边形外角求得该多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可解答．

【详解】

解：多边形外角和为360°，故该多边形的边数为360°÷60°=6；

多边形内角和公式为：（n-2）×180°=（6-2）×180°=720°

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形外角和以及多边形内角和公式，熟练掌握相关公式是解题关键．

2．（2022·云南昭通·一模）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（       ）

A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形

【答案】C

【解析】

【分析】

首先设多边形的每一个外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．

【详解】

解：设外角为x°，

由题意得：x+4x+30=180，

解得：x=30，

360°÷30°=12，

∴这个多边形是十二边形．

故选：C

【点睛】

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解题的关键是内角与相邻的外角是互补关系，构建方程求解．

3．（2020·湖北·阳新县陶港镇初级中学七年级期中）当一个多边形的边数增加时，其外角和（     ）

A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定

【答案】C

【解析】

【详解】

任何多边形的外角和都为360°，则多边形的边数增加时，其外角和是不变的.

故选C.

4．（2020·湖南株洲·八年级期末）下列图形中，内角和等于360°的是                                   (        )

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据多边形内角和公式，列式算出它是几边形．

【详解】

解：由多边形内角和公式，，解得．

故选：B．

【点睛】

本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和公式．

5．（2021·全国·八年级课时练习）如右图，五边形ABCDE的一个内角∠A =110°，则∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4等于(        )

A．360° B．290° C．270° D．250°

【答案】B

【解析】

【分析】

由多边形外角和等于360°问题可解

【详解】

解：∵∠A =110°

∴∠A的外角度数为180°-110°=70°

由多边形外角和为360°

∴∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4+70°=360°

∴∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=290°

故应选B

【点睛】

本题考查了多边形外角和和邻补角的定义，解答关键是根据题意解答问题．

6．（2022·内蒙古·乌海市第二中学八年级期末）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是(　　)

A．27 B．35 C．44 D．54

【答案】C

【解析】

【详解】

设这个内角度数为x，边数为n，

∴(n−2)×180°−x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴=44，

故选C.

点睛：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识.

二、填空题

7．（2018·河南洛阳·七年级期末）下列说法正确的有_____（填序号）

①三角形的外角和为360°；

②三角形的三个内角都是锐角；

③三角形的任何两边之差小于第三边；

④四边形具有稳定性．

【答案】①③．

【解析】

【分析】

根据三角形的外角和定理，三角形的分类，三角形的三边关系，四边形的不稳定性进行判断便可．

【详解】

解：①任意多边形的外角和都为360°，故①正确；

②钝角三角与直角三角形各只有两个锐角，故②错误；

③三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，故③正确；

④三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，故④错误．

故答案为：①③．

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理，三角形的分类的应用，三角形的三边关系，四边形的不稳定性，关键是熟记这些性质．

8．（2019·湖南株洲·中考真题）如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．

【答案】66

【解析】

【分析】

首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数．

【详解】

解：∵五边形为正五边形，

∴度，

∵是的角平分线，

∴度，

∵，

∴．

故答案为66．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．

9．（2022·全国·八年级课时练习）正多边形的每个内角等于，则这个正多边形的边数为______________条．

【答案】12

【解析】

【详解】

多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12.

10．（2022·全国·八年级课时练习）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是_____．

【答案】正八边形

【解析】

【分析】

根据正多边形的外角和为即可求出正多边形的边数．

【详解】

解：∵正多边形的一个内角是135°，

∴它的每一个外角为45°．

又因为多边形的外角和恒为360°，

360°÷45°＝8，

即该正多边形为正八边形．

故答案为：正八边形．

【点睛】

本题主要考查正多边形的外角和，掌握正多边形的外角和是解决问题的关键．

11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，则∠O2的度数为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据、的平分线交于点，得出，再根据、的平分线交于点，得出，

再进行计算即可

【详解】

解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，

∴∠ADC+∠DCB=150°，

、的平分线交于点，

，

、的平分线交于点，

=，

∴∠O2=180°-37.5°=，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠O2与∠ADC+∠DCB之间的关系．

三、解答题

12．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，求的度数．

【答案】360°

【解析】

【分析】

先根据三角形的外角性质可得，再根据四边形的内角和即可得．

【详解】

∵是的一个外角

∴

同理可得

∴

∴

又

∴

故的度数为．

【点睛】

本题考查了四边形的内角和、三角形的外角性质、对顶角相等，熟记并灵活运用各性质是解题关键．

13．（2022·全国·八年级专题练习）已知一个多边形每个内角都比它相邻外角大60°．

(1)求这个多边形的内角和；

(2)求这个多边形所有对角线的条数．

【答案】(1)720°

(2)9

【解析】

【分析】

（1）设这个多边形为n边形，根据多边形外角和为360度，结合条件一个多边形每个内角都比它相邻外角大60°列出方程求解即可；

（2）根据n边形一个顶点有（n-3）条对角线求解即可．

(1)

解：设这个多边形为n边形，

由题意得：，

解得，

∴这个多边形的内角和为

(2)

解：由（1）得这个多边形为六边形，

∴从六边形的一个顶点出发一共有6-3=3条对角线，

∴这个多边形所有对角线的条数为条．

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和与外角和问题，多边形对角线问题，熟练掌握多边形内角和与外角和以及多边形对角线的知识是解题的关键．

14．（2021·全国·八年级课时练习）多边形的内角和与某一个外角的度数和为1350度．

(1)求多边形的边数；

(2)此多边形必有一内角为多少度？

【答案】（1）九边形（2）90°

【解析】

【分析】

根据n边形的内角和定理可知：n边形内角和为（n-2）×180°．设这个外角度数为x度，利用方程即可求出答案．

【详解】

（1）设这个外角度数为x，根据题意，得

（n-2）×180°+x°=1350°，

解得：x°=1350°-180°n+360°=1710°-180°n，

由于0＜x°＜180°，即0＜1710°-180°n＜180°，

解得8.5＜n＜9.5，

所以n=9．

（2）可得x°=1350°-（9-2）×180°=90°

该多边形必有一内角度数为180°-90°=90°．

【点睛】

主要考查了多边形的内角和定理．解题的关键是熟记n边形的内角和为：180°•（n-2）．

15．（2022·全国·八年级专题练习）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠的变化情况，解答下列问题．

（1）将如表的表格补充完整：

（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），，，，；（2）存在，

【解析】

【分析】

（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=；

（2）根据正n边形中的∠α=，可得答案．

【详解】

解：（1）观察上面每个正多边形中的，填写下表：

故答案为：，，，，；

（2）存在，理由如下：

设存在正边形使得，

得．

解得：，

存在正边形使得．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等．