初中13.1.1 轴对称习题

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2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
第十三章 轴对称单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第13章 轴对称，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·江苏盐城·中考真题）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意；
D是轴对称图形，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
2．（2021·广东惠州·八年级期中）点 A (2，-1)关于 y 轴对称的点 B 的坐标为（    ）
A．(2, 1) B．(-2，1) C．(2，-1) D．(-2，- 1)
【答案】D
【分析】根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得．
【详解】解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同．
则点关于轴对称的点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，按以下步骤进行尺规作图：（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交的两边，分别于，两点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线，连接，，．下列结论错误的是（    ）

A．垂直平分 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠DCO=∠ECO，∠1=∠2，
∵OD=OE，CD=CE，
∴OC垂直平分线段DE，
故A，B，C正确，
没有条件能证明CE=OE，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2022·全国·九年级单元测试）将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（    ）

A．2 B．或2 C． D．或2
【答案】B
【分析】分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题
【详解】∵沿折叠后点C和点D重合，
∴，
设，则，
以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得．
综上，的长为或2，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2019·河南·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（　　）

A．5 B．4 C．2 D．2
【答案】C
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到，，再证明，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：由作图方法得垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时还考查了线段垂直平分线的性质．
6．（2019·山东青岛·中考真题）如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD  ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（      ）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2020·黑龙江省红光农场学校七年级期末）点(3，0)关于y轴对称的点的坐标是_______
【答案】（-3，0）
【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，直接用假设法设出相关点即可．
【详解】解：点（m，n）关于y轴对称点的坐标（-m，n），
所以点（3，0）关于y轴对称的点的坐标为（-3，0）．
故答案为：（-3，0）.
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连结交于，交于，若线段的长为，则的周长为______．

【答案】12
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．
【详解】解：点关于、的对称点，，
，，
的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
9．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．

【答案】130度##130°
【分析】根据等边三角形的性质得出∠FAE的度数，再根据三角形外角的性质得出∠AFB的度数即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，
∴∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵∠AEB＝100°，
∴∠AFB＝∠AEB＋∠EAF＝30°＋100°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
10．（2020·江苏常州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．

【答案】30
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
11．（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）

【答案】180°﹣α．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．（2022·全国·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、，如果以、、为顶点的三角形与全等（点与点不重合），请写出一个符合条件的点的坐标为________．
【答案】（2，3）或（5，3）或（5，-5）
【分析】由于AB公共，所以△ABC与△ABP全等时可分两种情况进行讨论：①△ABC≌△ABP，此时P与C关于直线AB对称；②△ABC≌△BAP，③△ABC≌△BA，画出图形易得点P的坐标．
【详解】解：如图，分三种情况：

①△ABC≌△ABP，此时P与C关于直线AB对称，点P的坐标为（2，3）；
②△ABC≌△BAP，点P的坐标为（5，3）．
③△ABC≌△BA，点P的坐标为（5，-5）．
故答案为（2，3）或（5，3）或（5，-5）
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形性质，难度适中．利用分类讨论与数形结合是解题的关键．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·河北·邢台市开元中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．

【答案】见解析
【分析】连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据AB=AC，求出，，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．
【详解】证明：连接，

∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接求出．
14．（2021·浙江·八年级期末）已知：如图，是的角平分线，于点 ，于点，，求证：是的中垂线．

【答案】见解析.
【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线.
【详解】解：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
是的角平分线，
是的中垂线.
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用.
15．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．

【答案】见解析
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
16．（2021·全国·八年级课时练习）已知点，.若、关于轴对称，求的值．
【答案】1
【分析】先根据、关于轴对称，求出a和b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵、关于轴对称，
∴，
解得
，
∴=．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解答本题的关键．
17．（2021·吉林长春·八年级期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
（1）在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠BCD ＝∠BDC．
（2）在图②中的线段AC上找一点E，连结BE，使∠EAB ＝∠EBA．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据等边对等角，在AB上取一点D使BD=BC=3，连接CD即可；
（2）线段AB的垂直平分线与AC的交点E即为所求．
【详解】（1）如图所示，即为所求，

（2）如图所示，即为所求，

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，熟练运用等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

(1)求证：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面积．
【答案】(1)见解析
(2)草坪造型的面积为

【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积．
（1）
在和中，
，
；
（2）

过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积，
所以，草坪造型的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2022·湖南长沙·中考真题）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．

(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】(1)10m
(2)20m

【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
（2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解．
（1）
，

（2）
C，A，D三点共线，


【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2019·北京·人大附中石景山学校九年级阶段练习）如图，点D是等边三角形ABC的边BC上一点，以AD为边作等边△ADE，连接CE.
（1）求证：；
（2）若∠BAD=20°，求∠AEC的度数.

【答案】（1）见解析；（2）100°．
【分析】（1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，得到AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，从而得到∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠CAE=∠BAD，利用SAS证得△ABD≌△ACE；
（2）由△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠B=60°，∠BAD=∠CAE=20°，再由三角形内角和为180°即可求出∠AEC的度数．
【详解】（1）证明：∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE与△BAD中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠AEC=180°-60°-20°=100°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，根据等边三角形中隐含的条件可以得到证明三角形全等的一些条件是解题关键．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．

(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解；
(2)0.5a．

【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
（1）
如下图所示，过点M作MQCN，

∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，

∴，  
则MP=NP；
（2）
∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，  
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（2019·全国·八年级单元测试）如图，点是线段上任意一点（点与点不重合），分别以为边在直线的同侧作等边和等边与相交于点与相交于点与相交于点．

求证：（1）；（2）；（3）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据等边三角形的性质及SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的性质证明为等边三角形，得到，即可根据平行线的判定求解；
（3）先求得，过点作于点，于点，证明，根据角平分线的判定与性质即可求解.
【详解】（1）∵和为等边三角形，
∴，，
.
又，，
而，
∴.
∴.
（2）由，得到；
又∠ACM=∠BCN=∠DCN=60°，
∴，得到.
∵，
∴为等边三角形，
∴，∴.
（3）由，
∴，
过点作于点，于点.
∵，
∴，，
∴，
∴，
从而平分.
∴.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的方法、角平分线的判定与性质.

六、（本大题共12分）

23．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）已知：在△ABC中，AC=7．

(1)如图①，分别以AB，BC为边，向外作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，则AE CD（填“＞”“＜”或“=”）；
(2)如图②，分别以AB，BC为腰，向内作等腰△ABD和等腰△BCE，∠ABD=∠CBE且小于∠ABC，连接AE，CD，请猜想AE与CD的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，以AB为腰向内作等腰△ABD，以BC为腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知点A到直线DE的距离为2，AE=8，求点D到直线AE的距离．
【答案】(1)=
(2)CD=AE，理由见解析
(3)D到直线AE的距离为．

【分析】（1）利用等边△ABD和等边△BCE得出BD=BA，BC=BE，∠DBA=∠CBE，可判断△DBC≌△ABE，即得AE=CD；
（2）利用△ABD和△BCE为等腰三角形，得出BD=BA，BC=BE，∠DBA=∠CBE，可判断△DBC≌△ABE，即得AE=CD；
（3）利用△ABD和△BCE为等腰三角形，得出BD=BA，BC=BE，∠DBA=∠CBE，可判断△DBE≌△ABC，即得AC=DE=7，再利用△ADE的面积即可求点D到直线AE的距离．
（1）
解：∵△ABD和△BCE为等边三角形，
∴BD=BA，BC=BE，∠DBA=∠CBE=60°，
∴∠DBA+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即：∠DBC=∠ABE，
在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴CD=AE，
故答案为：=；
（2）
解：CD=AE，
证明如下：∵△ABD和△BCE为等腰三角形，
∴BD=BA，BC=BE，
∵∠DBA=∠CBE，
∴∠DBA+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABE=∠DBC，
在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴CD=AE；
（3）
解：∵△ABD和△BCE为等腰三角形，
∴BD=BA，BC=BE，
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=DE=7，
设D到直线AE的距离为h，
∵，
∴h=，
∴D到直线AE的距离为．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定结合全等三角形的性质是证明线段相等或角相等的工具，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．