初中数学人教版八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程练习

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

15.3   分式方程

题型导航

                    题型1

                    题型2

                    题型3

                    题型4

                    题型5

题型变式

【题型1】分式方程的判断

1．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（    ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据分式方程的定义，即可判断．

【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；

所以关于x的分式方程共有1个，

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．

【变式1-1】

2．（2021·全国·九年级专题练习）在方程中，分式方程有______个．

【答案】3

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．

【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．

【题型2】分式方程无解问题

1．（2022·新疆·石河子第九中学八年级期末）若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为（    ）

A．2 B．-2 C．5 D．-5

【答案】C

【分析】根据增根的意义及产生原因解答．　　　

【详解】解：由题意可得：

x=5且x-2（x-5）=m，

∴m=5-0=5，

故选C．　

【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握增根的意义及产生原因是解题关键．

【变式2-1】

2．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）若关于的分式方程无解，则a的值为____．

【答案】1或-2

【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行解题即可．

【详解】解：方程两边同乘得：，

去括号得：，

移项合并同类项得：，

①当整式方程无解时：0，解得：，

②当分式方程有增根时：0，解得：x=0或，

当0时，整式方程无解，

当：，解得：；

故答案为：1或-2．

【点睛】本题考查分式方程无解时求参数的值，注意分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分式方程有增根．

【题型3】列分式方程

1．（2022·新疆·库车市第七中学八年级期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x-5）棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲班植80棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】解：设甲班每天植x棵，

则乙班每天植树（x-5）棵，

那么甲班植80棵树所用的天数应该表示为：，

乙班植70棵树所用的天数应该表示为：，

所列方程为：．

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

【变式3-1】

2．（2022·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为：______．

【答案】

【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程．

【详解】解：由题意可得：

，

故答案为：．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．

【题型4】解分式方程

1．（2022·陕西省西安爱知中学九年级开学考试）解分式方程：．

【答案】

【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．

【详解】解：方程两边同时乘以，得，

，

，

，

解得，

检验：当时，，

∴是原方程的解．

【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．

【变式4-1】

2．（2021·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期末）解方程：

(1)

(2)

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

（1）

解：去分母得：，

去括号得：，

移项得：，

解得：，

检验：当时，，

所以是分式方程的解；

（2）

解：去分母得：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得：

解得：，

检验：当时，，

所以是分式方程的解；

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

【题型5】分式方程的应用

1．（2022·上海嘉定·九年级阶段练习）2022年北京冬残奥会开幕式门票主要有两种订购渠道，已知网上订购比电话订购每张优惠40元．小王准备用4800元以网上订购的方式订购该门票，结果比电话订购多订购到6张门票，求电话订购每张门票价格是多少元？

【答案】电话订购每张门票价格是200元．

【分析】设电话订购每张门票价格是x元，根据“网上订购比电话订购每张优惠40元．小王准备用4800元以网上订购的方式订购该门票，结果比电话订购多订购到6张门票”，列出分式方程，进行求解即可．

【详解】解：设电话订购每张门票价格是x元，

由题意： ，

解得：，，

检验：，都是原方程的解，

但不符合题意，舍去，

∴x＝200．

答：电话订购每张门票价格是200元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

【变式5-1】

2．（2022·辽宁·丹东市第十七中学八年级期末）随着樱桃的陆续成熟，市场上樱桃的价格有所下调，今天较昨天每斤降价2元，昨天88元买到的樱桃今天只要80元就能买到，请你算一算今天的樱桃卖多少钱一斤？

【答案】今天的樱桃卖20元一斤

【分析】设今天的樱桃卖x元一斤，则昨天的樱桃卖元一斤根据昨天88元买的樱桃数量=今天80元买的樱桃数量，列出方程，解方程即可．

【详解】解：设今天的樱桃卖x元一斤，则昨天的樱桃卖元一斤，根据题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的根，且符合实际，

答：今天的樱桃卖20元一斤．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，列出方程是，是解题的关键，注意解分式方程要进行检验．

专项训练

一．选择题

1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知关于的方程：，则对这个方程的解的描述正确的是（    ）

A．解为 B．解为 C．解为 D．无解

【答案】D

【分析】按照解分式方程的步骤解方程后，根据解的情况进行判断即可．

【详解】解：

两边同乘以（x－3）得，

2－x＝﹣1－2（x－3）

解得，x＝3

当x＝3时，x－3＝0，

∴ x＝3是增根，原方程无解．

故选：D

【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．

2．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【详解】解：A. ∵当x=1，y=2时，，，∴，故不正确；

B. ∵当x=1，y=3时，，，∴ ，故不正确；

C. ，正确；

D. ∵当x=1，y=2时，，，∴ ，故不正确；

故选C．

【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

3．（2021·广西百色·中考真题）方程＝的解是（    ）．

A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3

【答案】D

【分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．

【详解】∵＝

∴

∴

经检验，当时，与均不等于0

∴方程＝的解是：x＝3

故选：D．

【点睛】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．

4．（2022·江苏·八年级专题练习）已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（    ）

A．20 B．18 C．17 D．15

【答案】D

【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．

【详解】解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a，

∴8−6＜a＜8＋6．即：2＜a＜14，

∵，

∴y＝6−a，

∵解是非负数，且y≠3，

∴6−a≥0，且6−a≠3，

∴a≤6且a≠3，

∴2＜a≤6且a≠3，

∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．

∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15．

故选：D．

【点睛】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．

5．（2021·全国·八年级专题练习）民勤六中九年级的几名同学打算去游学，包租一辆面包车的租价为360元，出发时又增加了5名同学，结果每个同学比原来少分担了6元钱的车费．原有人数为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设原有人数为x人，根据增加之后的人数为（x+5）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了6元车费，列方程．

【详解】解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为（x+5）人，

由题意得，．

即．

故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．

二、填空题

6．（2021·全国·八年级课时练习）若分式有意义，则x的取值范围是____．

【答案】x≠−2

【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．

【详解】解：根据题意得，x＋2≠0，

解得x≠−2．

故答案是：x≠−2．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式是解题的关键．

7．（2021·全国·八年级专题练习）某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，则这个人上山和下山的平均速度是______．

【答案】

【分析】平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．

【详解】解：由题意上山和下山的平均速度为：.

故答案为：．

【点睛】本题考查列分式，分式的加法和除法，总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

8．（2022·全国·八年级单元测试）受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，但每瓶单价贵了1元，则该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为______元．

【答案】8

【分析】设该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为x元，根据所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍列分式方程解答．

【详解】解：设该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为x元，由题意得

，

解得x=8，

经检验，x=8是原方程的解，

故答案为：8．

【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．

9．（2021·海南·九年级专题练习）若方程的解与方程的解相同，则________．

【答案】

【分析】求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值．

【详解】解：方程去分母得：3x＝6，

解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解，

根据题意将x＝2代入第一个方程得：

解得：，

经检验是原分式方程的解，

则．

故答案为：．

【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

10．（2021·全国·八年级单元测试）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款的总额为6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等，则第一次捐款的总人数为________人．

【答案】300

【分析】先设第一次的捐款人数是x人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案．

【详解】解：设第一次的捐款人数是x人，根据题意得：，

解得：x＝300，

经检验x＝300是原方程的解，

故答案为300．

【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．

11．（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___．

【答案】2

【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．

【详解】解：﹣1＝，

方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，

去括号，得2x﹣x＋1＝m，

移项、合并同类项，得x＝m﹣1，

∵方程无解，

∴x＝1，

∴m﹣1＝1，

∴m＝2，

故答案为2．

【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.

12．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）分式的值比分式的值大3，则x为______．

【答案】1

【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可．

【详解】根据题意得：-=3，

方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），

解得：x=1，

检验：把x=1代入x-2≠0，

所以x=1是所列方程的解，

所以当x=1时，的值比分式的值大3．

【点睛】本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键．

三、解答题

13．（2022·宁夏石嘴山·八年级期末）解方程：．

【答案】

【分析】方程两边同乘以，化成整式方程，再求解即可.

【详解】解：方程两边同乘以得：，

去括号得：，

移项合并得：，

解得：

经检验：为原方程的解.

【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握方程的解法，注意检验.

14．（2021·四川·攀枝花第二初级中学八年级期中）（1）解方程：

（2）计算：

【答案】（1）原分式方程无解

（2）

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可．

【详解】解：（1）

经检验：是增根

所以原方程无解．

（2）原式=

=

=

=．

【点睛】本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简运算法则．

15．（2021·全国·八年级专题练习）如果解关于的方程会产生增根，求的值.

【答案】k=2

【分析】首先根据分式方程的解法求出方程的解，然后根据增根求出k的值．

【详解】两边同时乘以(x－2)可得：x=2(x－2)+k， 解得：x=4－k，

∵方程有增根，  ∴x=2， 即4－k=2，解得：k=2．

【点睛】本题主要考查的是分式方程有增根的情况，属于基础题型．解决这种问题时，首先我们将k看作已知数，求出方程的解，然后根据解为增根得出答案．

16．（2019·山东青岛·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍，两人各加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过 7800 元，那么甲至少加工了多少天？

【答案】（1）乙每天加工40个零件，甲每天加工60个零件；（2）甲至少加工40天.

【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；

（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．

【详解】（1）设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件

化简得：600×1.5=600+5×1.5x

解得x=40

经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义．

1.5x=60

答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.

（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得

由①得y=75-1.5x  ③

将③代入②得：150x+120（75-1.5x）≤7800

解得：x≥40，

当x=40时，y=15，符合问题的实际意义．

答：甲至少加工了40天．

【点睛】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．

17．（2020·黑龙江·哈尔滨市光华中学校七年级阶段练习）现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，需要12天完成；若甲队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要9天才能完成．求：

（1）甲乙两个装修队单独完成分别需要几天？

（2）已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工总费用为70000元，则甲装修队施工多少天？

（3）甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人10人，该工程需要在13天内（包括13天）完成，该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？

【答案】（1）甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20天、30天；（2）10天；（3）2人

【分析】（1）等量关系为：甲的工作效率×5+甲乙合作的工作效率×9=1，先算出甲单独完成此项工程需要多少个月．而后算出乙单独完成需要的时间；

（2）两个关系式：甲乙两个工程队需完成整个工程；工程施工总费用为70000元．

（3）设乙队调走m人，利用（1）中所求数据得出甲乙两队每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出即可．

【详解】解：（1）设甲装修队单独完成此项工程需要x天．

根据题意，得，

解得x=20，

经检验，x=20是原方程的解．

，

答：甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20，30天．

（2）设实际工作中甲、乙两装修队分别做a、b天．

根据题意，得

，

解得a=10，b=15．

答：要使该工程施工总费用为70000元，甲装修队应施工10天．

（3）设乙装修队调走m人，

由题意可得：

，

解得：m≤，

∴m的最大整数值为2，

答：乙队最多调走2人．

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式解法与应用，利用总工作量为1得出等式方程是解决问题的关键．

18．（2022·广东中山·八年级期末）某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单价是多少元？

【答案】商场实际购进彩灯的单价是60元

【分析】设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，由题意：某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．

【详解】解：设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，且符合题意，

则（元，

答：商场实际购进彩灯的单价为60元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．