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专项07 半角模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)
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这是一份专项07 半角模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版),文件包含八年级数学上册专项07半角模型综合应用原卷版docx、八年级数学上册专项07半角模型综合应用解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共38页, 欢迎下载使用。
专项07 半角模型综合应用模型一 等角=要三角形中得半角模型 模型二 正方形中的半角模型 应用:①利用旋转构造全等三角形; ②利用翻折构造全等三角形。【类型一:等腰三角形中的半角模型】【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法,通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起,从而方便解决问题.已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D、E在边BC上,且.(1)如图a,当α=60°时,将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置,连结DF.①∠DAF= ;②求证:DF=DE;(2)如图b,当α=90°时,猜想BD、DE、CE的数量关系,并说明理由. 【变式1】已知∠MBN=60°,等边△BEF与∠MBN顶点B重合,将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转,边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C,并在BM边上截取AB=BC,连接AE.(1)将等边△BEF旋转至如图①所示位置时,求证:CE=BE+AE;(2)将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时,请分别直接写出AE,BE,CE之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,若BF=4,AE=1,则CE= 3或5 . 【典例2】等边△ABC,D为△ABC外一点,∠BDC=120°,BD=DC,∠MDN=60°,射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N,①当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,直接写出BM、NC、MN之间的数量关系.②当点M、N在边AB、AC上,且DM≠DN时,猜想①中的结论还成立吗?若成立,请证明.③当点M、N在边AB、CA的延长线上时,请画出图形,并写出BM、NC、MN之间的数量关系. 【变式2】(1)问题背景:如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;(2)探索延伸:如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,请说明理由;(3)实际应用:如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,当∠EOF=70°时,两舰艇之间的距离是 海里. 【类型二:正方形中的半角模型】【典例3】已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.(1)如图1,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明.【变式3】【感知】如图①,点M是正方形ABCD的边BC上一点,点N是CD延长线上一点,且MA⊥AN,易证△ABM≌△ADN,进而证得BM=DN(不要求证明)【应用】如图②,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°.求证:BE+DF=EF.【拓展】如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠ABC+∠ADC=180°,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BD=3,EF=1.7,则四边形BEFD的周长为 . 1.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:∠ABE=∠CAD;(2)求BP和AD的长. 2.如图,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点(点D不与点B,C重合),作∠EDF=60°,使角的两边分别交边AB,AC于点E,F,且BD=CF.(1)如图①,若DE⊥BC,则∠DFC= 度;(2)如图②,D是边BC上一点(点D不与点B,C重合),求证:BE=CD;(3)如图③,若D是边BC的中点,且AB=2,则四边形AEDF的周长为 . 3.如图1,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,△BDC是等腰三角形且BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作∠MDN=60°,交边AB,AC于M,N两点,延长AC到点E,使得CE=BM,连接MN、DE.(1)试说明:①△MBD≌△ECD;②MN=BM+NC;(2)如图2,若点M是AB的延长线的一点,N是CA的延长线上的点,点E在线段AC上,其他条件不变,探究线段BM,MN,NC之间的关系,并说明理由.4.如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45度.则有结论EF=BE+FD成立;(1)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请说明理由.(2)若将(1)中的条件改为:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明. 5.阅读下列学习内容:(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠ABC=∠D=90°,E,F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.探究思路如下:延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.⇒△ABG≌△ADF⇒⇒∠DAF+∠BAE=60°⇒∠GAB+∠BAE=60°∠EAG=60°⇒⇒△AEF≌△AEG⇒EF=EG则由探究结果知,图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF=BE+FD .(2)根据上面的方法,解决问题:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,点M、N分别在边BC、CD上,且∠MAN=45°,若BM=3,ND=2,请求出线段MN的长度. 6.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,线段EF、BE、FD之间的关系是 EF=BE+FD ;(不需要证明)(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明.若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明.若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明. 7.【问题背景】如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 .【探索延伸】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.【学以致用】如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.