专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

这是一份专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版），文件包含八年级数学上册专项13与尺规作图有关的计算和证明的综合应用原卷版docx、八年级数学上册专项13与尺规作图有关的计算和证明的综合应用解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用垂直平分线作图步骤：1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 垂直平分线的性质： 【典例1】（2021秋•邓州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　     ；（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．【解答】解：（1）等边三角形，理由：∵AM＝AN，∠MAN＝120°，∴∠M＝∠N＝30°，∵BE是线段AM的垂直平分线，∴AB＝BM，∴∠MAB＝∠M＝30°，∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°，同理，CA＝NC，∴∠NAC＝∠N＝30°，∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）△ABC是等腰三角形，理由：∵AM＝AN，∴∠M＝∠N，∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（3）当∠M＝∠N时，AB＝AC；当2∠M+∠N＝90°时，∠BAN＝90°，∴CF∥BN，∵CF垂直平分AN，∴AF＝FN，∴CN＝BC，∴CA＝NB＝BC，同理，当∠M+2∠N＝90°时，BA＝BC，综上所述，当∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°时，△ABC是等腰三角形．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．【变式1-1】（秋•密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE．（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；（2）证明：l垂直平分AE．【答案】略【解答】解：（1）如图所示： （2）证明：解法一：如下图：连接AC，CE，ED，AD，∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，在△ACD和△ECD中∵，∴△ACD≌△ECD（SSS），∴∠ACD＝∠ECD，∵AC＝CE，∴l垂直平分AE．解法二：如下图：连接AC，CE，ED，AD，∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，∴AC＝CE，AD＝DE，∴l垂直平分AE．【变式1-2】（2020•建湖县模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（　　）A．25° B．50° C．60° D．90°【答案】B【解答】解：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，∴AD+CD+AC＝10，∴BD+DC+AC＝10，∴AC+BC＝10，∵AB＝7，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝7+10＝17，故选：B．【变式1-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，连接BD，边AC的长为12cm，边BC的长为7cm，则△BCD的周长为（　　）A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm【答案】B【解答】解：∵线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC，∵AC＝12cm，BC＝7cm，∴△BCD的周长＝BC+AC＝12+7＝19（cm），故选：B．【变式1-4】（2022春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，∵△CBD的周长为20，∴AC+BC＝20，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．【变式1-5】（2021秋•思南县校级月考）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为16cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【解答】解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，∴MA＝MC，同理，NC＝NB，∵△CMN的周长为16cm，∴MC+MN+NC＝16cm，∴AB＝AM+MN＝BN＝16cm；（2）∵AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，∴MD⊥AC，NE⊥BC，∴∠ACB＝180°﹣∠MFN＝110°，∴∠A+∠B＝70°，∵MA＝MC，NB＝NC，∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝∠ACB﹣（∠A+∠B）＝110°﹣70°＝40°．1.（2021春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（　　）A．60° B．75° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，故选：B2．（2020•宝安区二模）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A＝22°，则∠BDC＝（　　）A．52° B．55° C．56° D．60°【答案】C【解答】解：连接CH，由题意得，直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AH＝BH，∵CH＝AH，∴CH＝AB，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝22°，∴∠ACH＝∠A＝22°，∴∠BCH＝∠B＝68°，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣68°）＝56°，故选：C．3．（2021•长春一模）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）A．∠AOG＝60° B．OF垂直平分CG C．OG＝CG D．OC＝2FG【答案】D【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；∵C点与G点关于OF对称，∴∠FOG＝∠FOC＝30°，∴∠AOG＝60°，所以A选项的结论正确；∴△OCG为等边三角形，∴OG＝CG，所以C选项的结论正确；在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，∴OC＝2CM，∵CF＞CM，FC＝FG，∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误．故选：D．4．（2020秋•鄞州区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，故选：B．5．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．【答案】略【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝40°．6．（2021秋•洪江市期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【解答】解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10； （2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．7．（2021秋•兴山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　  　；（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，故答案为：50°；（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．（3）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．