2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题17 数列综合应用【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）原卷版

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【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）专题17  数列综合          考向：数列部分高考题一般是中等难度，分数在10-17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解。考点：数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式、数列求和、构造新数列求通项、求和、数列有关的数学文化问题。导师建议：新文化题主要是读题抓住题眼，同时找到q的式子也是解决问题的关键！   1.数列的第n项与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).2.等差数列的通项公式；3.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。4.等差数列前n项和公式为.5.等比数列的通项公式；6.等比中项：若成等比数列，则A叫做与的等差中项，且。7.等比数列前n项的和公式为或.【常用结论】1.2.;3.构成等差数列.4.是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列.5.在等差数列，中，它们的前项和分别记为则.6.().7.若,则()8.公比时,,,,成等比数列().  目录一览①等差等比数列的综合②数列的函数性质③求数列的通项公式④数列求和⑤数列的新文化题高考题及模拟题精选题型精练，巩固基础    一、单选题1．在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（    ）A．256 B．512 C．1024 D．20482．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-13．已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（    ）A．29 B．31 C．33 D．354．已知各项均为正数的等比数列的前项和为若，，成等差数列，则数列的公比为　　A． B． C．2 D．35．已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）A．84 B．144 C．288 D．1106．已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（    ）A．180 B．198 C．189 D．1687．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）A．4 B．8 C．32 D．648．各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则A．4 B．8 C．16 D．64  9．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ）A． B．C． D．10．设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　）A．为递减数列 B．C．有最大值 D．11．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．12．等差数列的前项的和为，已知，，则等差数列的前项的和中，最小值为（    ）.A． B． C． D．13．在数列中，“”是“数列为严格递增数列”的（    ）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．  15．已知数列中，，且是等差数列，则（    ）A．36 B．37 C．38 D．3916．在数列中，，，则等于（    ）A． B． C． D．17．数列中，，（为正整数），则的值为（    ）A． B． C． D．18．已知数列的前项和，且，则（    ）A． B． C． D．19．在数列中，，，若，则的最小值是（    ）A．9 B．10 C．11 D．1220．已知数列中，，则等于（    ）A． B．C． D．21．已知数列中，且，则为（    ）A． B． C． D．22．在数列中，，，则的值为(    )A． B． C． D．无法确定  23．若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和（    ）A． B．C． D．24．已知数列满足，，令，则数列的前2022项和（    ）A． B． C． D．25．记表示不超过实数x的最大整数，记，则（    )A．18154 B．18164 C．18174 D．前三个选项都不对26．已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（    ）A． B． C． D．27．已知数列的前项和为，，当时，，则等于（    ）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011  28．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）A．134 B．135 C．136 D．13729．我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（    ）粒米.A． B． C． D．30．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（    ）A． B． C． D．31．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（    ）A． B． C． D．32．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（   ）A．152 B．480 C．512 D．84033．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项为：、、、、、、、、、，通项公式为，若把这个数列排成下侧形状，并记表示第行中从左向右第个数，则的值为（    ）A． B．C． D．34．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）A． B． C． D．35．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ）A．110 B．100 C．90 D．80  一、单选题1．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2018·广东江门·校联考一模）已知数列的前项和，若，，则的最大值为（   ）A．60 B．57 C．54 D．513．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项4．（2020·云南昆明·云南民族大学附属中学校考一模）已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．5．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ）A． B． C． D．6．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）A． B． C． D．7．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．1609．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，则第8行第4个数（从左往右数）为（    ）A． B． C． D．10．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）A．58 B．57 C．56 D．5511．（2022·河南洛阳·新安县第一高级中学校考模拟预测）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（    ）A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍C．  D．12．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（    ）．A．7 B．8 C．9 D．10   一、单选题1．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列的前10项和（    ）A． B． C． D．22．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．（2023·甘肃兰州·校考一模） 数列满足，且对任意的都有，则的前100项和为A． B． C． D．4．（2022·广东·统考三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（    ）A． B． C． D．5．（2023·山东潍坊·校考一模）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C． D．6．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（    ）A． B． C． D．7．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（    ）A．15 B．16 C．17 D．188．（2022·河北邯郸·统考二模）在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（    ）A．－ B．－ C．－ D．－9．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）将数列中的所有项排成如下数阵：……已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数……，成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则下列结论错误的为（   ）A． B．C．位于第85列 D．10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（    ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．101511．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于（    ）A． B．C． D．12．（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第个图中的图形的周长为，则（    ）A． B． C． D．