中考数学二轮复习第11讲 勾股定理与锐角三角函数（题型训练）（含解析）

这是一份中考数学二轮复习第11讲 勾股定理与锐角三角函数（题型训练）（含解析），共62页。试卷主要包含了勾股定理，锐角三角函数，解直角三角形等内容，欢迎下载使用。
第11讲 勾股定理与锐角三角函数
题型一 勾股定理
1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝12，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】解：令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴x＝＝，
∴AB＝||．
∵b2﹣4ac＝12，
∴C（﹣，﹣）．
∴AC＝＝||．
由抛物线的对称性可知BC＝||，
∴AC＝BC＝AB，
∴∠ACB＝60°．
故选：C．
2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ ）
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
【答案】D
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，

过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：D．
3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在中，，，若将绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）

A． B． C．10 D．12
【答案】C
【解析】解：如图，△ BEF旋转到图中位置，连接BD、BG，

∵在△BEF中，∠EBF=90°，BE=2，∠BFE=30°，
∴EF=2BE=4，BF=2 ，
∵旋转前点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB=CD=4，BC=4，
∴BD=8.
∵在Rt△BEF中，点G是EF的中点，
∴BG=EF=2.
在△BEF的旋转过程中，BG的长不变，
∵在△DBG中，BG+BD>GD，
∴当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，此时，DG=BG+BD=2+8=10，
∴DG的最大值为10.
故选C.
4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）

A． B．4 C． D．
【答案】B
【解析】解：过点O作交于点E，连接OC，

则，
∵，，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
设OE=x，则OC=2x，
在中，由勾股定理得，





解得，（舍），
∴OC=2，
∴，
故选B．
5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．3-3 D．3
【答案】D
【解析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’
则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB
故△PP’B是等腰直角三角形
∴∠PP’B=45°
∵∠BAP=∠CBP
∴∠BAP=∠ABP’
∴BP’AP
∴∠APB=90°
当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短
∴∠AP’B=90°+45°=135°
∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45°
∴△APP’是等腰直角三角形
∴AP=AP’=6
∴PC=AP’=3
故选D．

6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、F、G分别在线段AB、BC、FD上，若，则小正方形的边长为（ ）

A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】解：在△BEF与△CFD中

∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC−BF＝12−3＝9，
又∵DF＝，
∴，即，
∴，
故选：C．
7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在中，，D，E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF，下列结论：①；②ACD；③；④．其中正确的是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴AF=AD，∠CAD=∠BAF，
∵在直角三角形ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，即∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，

在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确，
∵AE与AD不一定相等，
∴不一定与相等
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF，
由旋转可知：△ADC≌△AFB，
∴BF=CD，
∵BE+BF＞EF=DE，
∴BE+DC＞DE，③错误；
∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
由旋转可知：∠ABF=∠C=45°，
∴∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
∴BE2+DC2=DE2，④正确；
故选B．
8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（　　）

A．8π B． C．8π﹣16 D．
【答案】D
【解析】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP==2 ，
∵OA'=OB'=，
∴PA'=PB'= ，

∴tan∠A'OP=tan∠B'OP== ，
∴∠A'OP=∠B'OP=60°，
∴∠A'OB'=120°，
∴S阴=S扇形OA'B'-S△A'OB''= ，
故答案为：D．
9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AB＝BC＝2且EF＝BC，点G是边AB上的中点，连接GE、DF．当GE+DF取最小值时，线段CF的长是（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】解：取BC的中点H，连接GH、HF、HD，

∵在矩形ABCD中， AB=BC=2且EF=BC，
∴BC=2，EF=BC=2，
∴AC=，
∵点G是边AB上的中点，点H是边BC上的中点，
∴GH=AC=2，GH∥AC，
∴GH= EF =2，GH∥EF，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴EG=HF，
∴GE+DF= HF +DFDH，
∴当H、F、D 共线时，GE+DF有最小值，最小值为DH，如图：

在矩形ABCD中，CH∥AD，CH=BC=AD，∠DAC=∠HCF，
∴△CFH△AFD，
∴，
∵AC=4，
∴CF=，
故选：C．
10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF中，如图2，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝，则EQ+FQ＝（　　）

A．4 B．4+2 C．2+ D．2+2
【答案】D
【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF中，
∠EDF=90°，DE=DF， ∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴，
∵DQ=，
∴，
∴EQ+FQ=，
故选：D．
11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示）

【答案】
【解析】解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，BE＝CE＝2，
∴BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，如图所示，连接DG，
则AD=AG，BD=CG，
由旋转的性质可得：∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴△ABC∽△ADG，
∴，
∵AD＝kAB，
∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ABC+∠ADC=90°，
∵△ABC∽△ADG，
∴∠ABC=∠ADG，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
即：∠CDG=90°，
∴，
∴．

12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．
【答案】1
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∵AB=6，CD=8，
∴CE=4，AF=3，
∵OA=OC=5，
∴由勾股定理得：EO=，OF=，
∴EF=OFOE=1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，

过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，
EF=OF+OE=7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故答案为：1或7．
13．在等边△ABC中，AB＝6，BD＝4，点E为AC边上一个动点，连接DE，将△CDE沿着DE翻折得到△FDE，则点F到AB距离的最小值是_____．

【答案】
【解析】解：如图，过点作于．

是等边三角形，
，，
，，
，
，
观察图象可知，当点落在上时，点到距离的最小，最小值为，
故答案为：．
14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 __________________．

【答案】
【解析】
如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，，，
，，
，∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，，
∵H是AF的中点，
．
故答案为：．
15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，，交于点F，且．

（1）求证：．
（2）若F为的中点，且．求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证：∵，，
∴∠BDF=∠ADC=∠FEA=90°，
∵∠AFB=∠CAD+∠FEA=∠FBD+∠BDF，
∴∠CAD=∠FBD，
在△BDF和△ADC中，

∴；
（2）∵，
∴DF=DC，
∵F为的中点，，
∴AD=2DF=2DC=2，
∴在Rt△ADC中，，
∴．
16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．

【答案】（1）见解析（2）6
【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM＋DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2＋CN2，
∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，
解得，x＝6或−1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求，的长．

【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）=．
【解析】解：（Ⅰ）连接OD，
∵为直径，
∴．
在中，
．
（Ⅱ）∵ 平分，
∴ ∠CAD=∠BAD，

∴．
在中，，，
∴ ．
18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形中，点分别在和上，．，将绕点F顺时针旋转，当点H落在边上时，得到．

（1）求证：．
（2）求两点之间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）将绕点F顺时针旋转得到，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）如图，连接，作交于点，
，，
．

19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边AB的中点重合．

（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（）的面积：
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D旋转，使交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长．
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）∵，D是AB的中点，
∴．
∴∠B=∠DCB．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴G是AC的中点．
∴，．
∴．


（2）如图2所示：

∵，
∴．
∵，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点G为AH的中点；
在中，，
∵D是AB中点，
∴，
连接BH．
∵DH垂直平分AB，
∴．
设，则，，
由勾股定理得：，
解得，
∴．
20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，AC ＝ BC，∠ACB ＝ 90°，D是线段AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．

（1）求证：∠CAE ＝∠CBD；
（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F，连接CE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段EF，CE，BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析
【解析】（1）

如图1，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）①补全图形如图2；

②.理由如下：
在上截取，使.
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵射线绕点顺时针旋转，
后得到，且，
∴.
题型二 锐角三角函数
1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（　　）
A．0＜n＜1 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，且，
∴0°＜∠B＜45°，
∴，即；
故选C．
2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）

A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．tanB＝
【答案】C
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
cosA＝，故选项C正确；
tanB＝，故选项D错误．
故选：C．
3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将放在正方形网格中，则的值为（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE中，OE=2，BE=4，∠OEB=90°，
∴，
∴，
故选A．

4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cosA的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝．
故选：A．
5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
【答案】B
【解析】解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，

所以sinA，cosA=，tanA=，
故选：B．
6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD中，，，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵在矩形ABCD中，，，
∴AD=BC=4
∵点C沿对角线BD折叠，得到△EDF
∴DE=DC=AB
又∠A=∠E=90°，∠AFB=∠EFD
∴△ABF≌△DEF，
∴BF=DF，AF=EF
设EF=x=AF，则DF=4-x
在Rt△DEF中，DF2=EF2+DE2
即（4-x）2=x2+32
解得x=
∴EF=，
∴=
故选A．
7．已知a=3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】解：∵，
∴ 解得
所以a=3，b=4，c=5，即，
∴∠C=90°，
所以．
8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【解析】解：是锐角，，
．
故选：B．
9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小，
随的增大而增大，
A.∵,∴0