中考数学二轮复习第12讲 四边形（题型训练）（含解析）

这是一份中考数学二轮复习第12讲 四边形（题型训练）（含解析），共105页。试卷主要包含了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质等内容，欢迎下载使用。
第12讲 四边形
题型一 平行四边形的判定与性质
1．（2021·四川·达州中学九年级期中）关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若，则平行四边形ABCD是菱形
B．若，则平行四边形ABCD是正方形
C．若，则平行四边形ABCD是矩形
D．若，则平行四边形ABCD是正方形
【答案】C
【解析】解：解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；C、正确．D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；故选：C．
2．如图，四边形ABCD和四边形DBCE都是平行四边形，点R在CE上，且CR＝CE，则△APD，△DPQ，△QRC的面积比为（　　）

A．15：9：4 B．25：9：4 C．16：9：4 D．5：3：2
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD及四边形DBCE都是平行四边形
∴AD=BC=DE，BD∥CE
∴D点是AE的中点，AP：PR=AD：DE
∴P点是AR的中点
∴DP是△ARE的中位线
∴
∵
∴
∴
∵BD∥CE
∴△CRQ∽△DPQ
∴，
即，
∵△ADP与△DPQ等高
∴
即

故选：A．
3．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①；②；③；④，正确结论有（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
．
∵BE平分∠DBC，
，
．
在和中，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
∴点H是DF的中点，
∴，故①正确；
，
，故②错误；
，
．
，
，故③错误；
，
，
，
．
，
∽，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①，④，
故选：B．
4．（2021·吉林朝阳·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E．若，的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）

A．16 B．32 C．36 D．40
【答案】B
【解析】解：∵ 的周长是10，且，
∴，
又∵对角线、相交于点，
∴是的中点，
∵，
∴，点E为的中点，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ ，
∴．

故选：B．
5．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】，是 的中线，
是中点，是中点，
且，
是的中点，是的中点，
且,
，
同理，
四边形的周长为．
故选B．
6．如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）

A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【答案】C
【解析】连接BD，交AC于点O，如图

∵四边形DEBF为平行四边形
∴OD=OB，OE=OF
∵AE=CF
∴AE+OE=CF+OF
即OA=OC
∴四边形ABCD为平行四边形
故正确的证明步骤是：③②④①
故选：C．
7．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
其中正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形，
①当时，，
∴四边形EFGH是菱形；
②当时，，
∴四边形EFGH是矩形；
③当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分；
正确的个数为0个，
故选A．
8．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）

A． B．6 C．4 D．
【答案】D
【解析】解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．

过点D作DG⊥BA交BA延长线于G，
∴∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°，
∴
∴，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
∴GE=AE+AG=5
∴
由折叠的性质可知
∴DB’＝．
故选D．
9．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， 中， 于点 是半径为2的⊙A上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）

A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】解：如图，可知P在BA延长线与⊙A的交点时此时长的最大，证明如下：

连接BP,
∵,
∴BD=DC,
∵是的中点，
∴DE//BP, ,
所以当BP的长最大时，长的最大，
由题意可知P在BA延长线与⊙A的交点时BP的长最大此时长的最大，
∵BC=6,AD=4,
∴BD=DC=3,BA=5,
∵⊙A的半径为2，即AP=2,
∴BP=5+2=7,
∴.
故选：B.
10．如图，折叠，折痕经过点，交边于点，点落在的延长线上的点处，点落在点处，得到四边形，若的面积为8，有以下结论：
①；
②若，则四边形是菱形；
③设四边形的面积为，四边形的面积为，则与的函数关系式为；
④若，则点到的距离为1．
其中正确的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】解：由折叠知：∠C＝∠F，∠ABP＝∠CBP，
∵平行四边形ABCD，
∴∠C＝∠BAD，CD＝AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴EF∥AP，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，故①正确；
由折叠可知，CD＝EF，PD＝EP，
∴AP＝EF，
∴四边形APEF是平行四边形，
∵，
∴AP＝EP，
∴平行四边形APEF是菱形，故②正确；
∵四边形BCDP的面积为x，
∴SAPEF+SABCD＝2x，
∴y＝2x﹣8（4＜x＜8），故③正确；
设点P到AB的距离为h，
∴SABCD＝S四边形BPEF+S△ABP，
∴8＝，
∴8＝，
∴h＝1，
故④正确，故选：
11．（2021·陕西碑林·九年级期中）在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为______．

【答案】4
【解析】解：连接AC、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，即AE∥CF
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠EAQ=∠BCQ，∠AEQ=∠CBQ，
∴△AEQ∽△CBQ，
∴，
设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，
∵点E，G分别是AD，CD的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：BQ2=AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2，
即9﹣a2＝﹣4a2，
∴3a2＝11，
∴a2＝，
∴BQ2＝4b2＝（2）2﹣4×＝，
∴b2＝，
在Rt△EQC中，CE2＝EQ2+CQ2＝b2+4a2＝16，
∴CE＝4，
∴AF＝4．
故答案为：4．

12．（2021·湖北云梦·九年级期中）如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN＝1，则BC的长为 ___．

【答案】2
【解析】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，
∴AN＝CN，AM＝BM，
∴MN＝BC，
∵MN＝1，
∴BC＝2，
故答案为：2．
13．（2021·上海杨浦·九年级期中）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为____．


【答案】12
【解析】解：∵G是△ABC的重心
∴点为的中点，点是的中点
∴、为的中线，为中位线
∴，
∴
∴
∴，即
由三角形面积公式得到
∵点为的中点
∴
∵点是的中点
∴
∴
故答案为12
14．（2021·上海市文来中学九年级期中）如图，三边的中点分别为，，．联结交于点，交于点，则______．

【答案】2：1：3
【解析】解：∵E，F分别为CB、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∴△CHE∽△CDB，
∴ ，
∴CH=DH，
∵AD=DB，
∴ ，
∵，
∴△EGH∽△AGD，
∴ ，
∴DG：GH：CH=2：1：3， 故答案为：2：1：3．
15．（2021·福建·龙岩初级中学九年级期中）已知：A (-3，0)，B (0，3)，C是平面内任意一点，AC=1， D是BC的中点，则DO的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】解：如图，由AC=1，A (-3，0)，

在以A为圆心，1为半径的上，
作关于原点O的对称点 则 连接并延长与圆交于
则此时最长，当与重合，最短，

为等腰直角三角形，


为的中点，
为的中位线，

最大时为 最小时为
的范围为：
故答案为：
16．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，DF＝，G，H分别是AE，EF的中点，在点E的整个运动过程中，当AE⊥EF时，点E的运动时间为____秒，线段GH扫过的图形面积为____．

【答案】2
【解析】解：设当AE⊥EF时，点E的运动时间为t秒，则 ，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴ ，
∴ ，
∵DF＝，
∴ ，
∵AE⊥EF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，解得： ,
即当AE⊥EF时，点E的运动时间为2秒；
此时，线段GH扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，如图：

则点M、点G、点N、点H分别为AB、AE、BF、EF的中点，
∴MG、NH分别是△ABE、△FBE的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形MNHG是平行四边形，
延长HN交AB于点P，如图，
则PN⊥AB，且 ，
∵点H是EF中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即线段GH扫过的图形面积为 ,故答案为:2；．
17．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．

【答案】（1）见解析；（2）3cm
【解析】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
（cm），
AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3（cm），
∴DC＝AB＝3（cm）．
18．（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的长．

【答案】（1）见解析（2）6．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，ADBC，
∴∠ADE＝∠DEC，
又∵∠DEA＝∠C，
∴△ADE∽△DEC；
（2）解：∵△ADE∽△DEC，
∴，
∵CE＝2，DE＝4，
∴，
∴AD＝8=BC．
∴EB=BC-CE=8-2=6．
19． 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．

(1)求证：BD=EC．
(2)当∠DAB=60°时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形．理由见解析
【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∴BD=EC；
（2）解：结论：四边形BECD是菱形．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB，△DCB都是等边三角形，
∴DC=DB，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是菱形．
20．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）∵CE//AD，
∴∠CED=∠ADE，
∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∴在△COE和△AOD中，
，
∴△COE≌△AOD(AAS)，
∴CE=AD，
又∵CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）∵点D是BC边的中点，
∴DC=DB，
又由（1）可知四边形ADCE是平行四边形，
∴DC=AE，DCAE，
∴DB=AE，
又∵DBAE，
∴四边形DBAE是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形，
∴∠DCE=∠CEA=∠EAD=∠ADC=90°，
∴∠BDA=90°，
∴直接三角形有：．
21．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若，AE＝4，求BC的长．

【答案】（1）四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）16
【解析】解：（1）四边形BEDF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
又∵∠ABE=∠CDF，
∴∠EBF=∠EDF，
∴∠DFC=∠EDF=∠EBF，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）设，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AD∥BC，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∴．

22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D，以AP，AD为边作▱APED．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在BC边上时，求t的值．
（3）连结BE，当tan∠CBE＝时，求t的值．
（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．

【答案】（1）；（2）当点E落在BC边上时，t的值为1；（3）或；（4）满足条件的t的值为或或1．
【解析】解：（1）如图1中，


在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
∵PD⊥AC，
∴，
∴，,
∴，，
故答案为：；
（2）如图2中，当点E落在BC上时，

∵四边形APED是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴，
解得：，
∴当点E落在BC边上时，t的值为1；
（3）①如图中，当时，延长PE交BC于点F，


∵，
∴四边形CDPF为矩形，
∴，，
∴，
，
在Rt△BEF中，
，
解得：；
②如图中，当时，PE交BC于点F，连接BE，


∵四边形APED是平行四边形，四边形CDPF为矩形，
∴，，，
∴，
，
在Rt△BEF中，
，
解得：；
综上可得：或；
（4）①如图中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，

由题意：，
可得，
解得t＝；
②如图中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，

由题意：，
可得，
解得t＝；
③如图中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，

综上所述，满足条件的t的值为或或1．
题型二 矩形的判定与性质
1．（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接OM，ON，BN，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
又∵OM=ON，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；
当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，
∵OC=OD，
∴CM=2OC，
∴，
∴，故③错误；
若M是的中点，
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD=BD，故④正确，
故选B．

2．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接BD．

∵在△ABC中，AB＝12，BC＝5，，
∴AB2+BC2＝AC2，即AC=．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即为Rt△ABC斜边上的高，
∴，即，
∴EF的最小值为，
故选B．
3．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级开学考试）如图，四边形和均为正方形，点G在对角线上，点F在边上，连结，记和的面积分别为和．若，，则的长为（ ）

A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】解：如图，过点G作MN⊥BC，垂足为点N，交AD于点M，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝9，∠BAD＝90°，，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵MN⊥BC，，
∴∠GMD＝∠GMA＝∠GNB＝90°，
又∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴BN＝AM，MN＝AB＝9，
∵∠GMD＝90°，∠ADB＝45°，
∴∠MGD＝∠MDG＝45°，
∴设MG＝MD＝x，
则BN＝AM＝AD－MD＝9－x，GN＝MN－MG＝9－x，
∴AM＝GN，
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝∠AGF＝90°，
∴∠EAG＝∠DAB，
∴∠EAB＋∠BAG＝∠DAG＋∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴BAE≌DAG（SAS），
∴，BE＝DG，
∵∠AGF＝∠GMA＝90°，
∴∠AGM＋∠FGN＝∠AGM＋∠GAM＝90°，
∴∠FGN＝∠GAM，
在△FGN和△GAM中，
，
∴△FGN≌△GAM（ASA），
∴FN＝GM＝x，
∴BF＝BN－FN＝9－x－x＝9－2x，
∵，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴MG＝MD＝3，
∴DG＝，
∴BE＝DG＝，
故选：D．
4．（2021·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）

A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【解析】解：连结AP，如图所示：

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴PM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP==4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当PM最短时，PM=AP=2.4．
故选A．
5．如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵在中，，，
∴AC= ，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，
则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，
∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，
∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，
∴，又PE=2PF，
∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，
∴，
解得：，AP=3，
故选：C．

6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④．其中结论正确的序号是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【答案】C
【解析】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，

∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠EFB＝90°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＝90°－∠DAE＝67.5°，
∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，
∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＋∠FBM＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴BM⊥AE，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，故②正确；
∴∠EBF＝45°，
∴，
故③错误；
∵∠AFM＝90°，AF＝FM，
∴∠MAF＝45°，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形BCEF是正方形，
∴S四边形BCEF＝2S△EFB，
∴
故④正确，
∴正确的是：①②④，
故选：C．
7．已知点A是抛物线y＝ax2－4ax＋4a＋3（a＞0）的图象上的一点
（1）当a＝2时，该抛物线的顶点坐标为___________；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△DAC，使得BC∥AD，则BD的最小值为___________
【答案】（2，3） 3
【解析】解：（1）当时，=，
∴抛物线的顶点坐标为：（2，3）；
（2）∵和都为直角三角形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴对角线，
即最短时，最短，
∵，，
∴抛物线开口向上，抛物线与轴没有交点，最低点为顶点，
当时，，
即得，
∴无论为任何数，顶点坐标都为（2，3），
∴当最短时，即为顶点到轴得距离，即为，
∴最小值为．
8．（2021·山西太原·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，BC＝8．AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE．请从A，B两题中任选一题作答
（1）线段AE的长等于_______．
（2）线段OE的长等于________．

【答案】 ##
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=60°，
∴OA=OC=OB=OD，即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，BC=8．
∴AC=2AB，,
∴,
∴AB=，
（1）∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=；
故答案为：；
（2）过点E作FF⊥OC于点F，

∵△ABO是等边三角形，
∴AB=OB=，∠ABO=∠BAO=60°，∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOE==75°，
∴∠EOF=180°-60°-75°=45°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OF=EF，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=，
∴EC=BC-BE=，
在Rt△CEF中，∠ECF=30°，
∴EF=EC=．
∴OE=EF=．
故答案为：．
9．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为 ___．

【答案】1.5
【解析】解：如图所示，

由题可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，；
故答案是：1.5．
10．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于G，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF、EF、FG．下列四个结论：①DG＝CG；②AF＝AG；③S△ABF＝S△FCG；④AE＝EF．其中正确的结论是 ___．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①③④
【解析】解： 正方形

而


故①正确；
如图，设BF=m，而CF＝2BF，
则CF=2m，AB=AD=3m，DG=CG=，
在Rt△ABF中，
而
故②错误；

过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N， 可得四边形MNCD是矩形，
△AME∽△ADG，

∵AD=3m，
∴AM=2m，DM=m，NC=m， 则BN=BC-NC=2m，FN=BN-BF=m，
∵MD∥BN，
∴△MDE∽NBE， 且相似比，
∴ME=m，EN=2m，
在Rt△EFN中， EF=
在Rt△AME中，
故④正确；

故③正确；
综上：正确的有：①③④
故答案为：①③④
11．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．

【答案】
【解析】解：如图：

四边形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分线，
，，又，
，
，
，
解得，，
四边形是矩形，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
12．（2021·辽宁于洪·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为C边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则EC＝___；P，Q分别是AE，AD上的动点，PD＋PQ的最小值＝___．

【答案】3 8
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠C=∠B=90°，
设EC=x，则EF=ED=8-x，
∵由翻折可知AF=AD=10，
∴，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，
∴（8-x）2=x2+42，
解得，x=3，
∴EC的长为3；
如图，作FQ′⊥AD于点Q′，交AE于点P′，连结DP′；

连结QF，交AE于点P，连结DF、DP，
由翻折得，AE垂直平分DF，
∴PD=PF，P′D=P′F，
∴PD+PQ=PF+PQ=QF，P′D+P′Q′=P′F+P′Q′=Q′F，
由“两点之间，线段最短”可知，线段QF的长即表示PD+PQ的最小值；
由“垂线段最短”可知，当点Q与点Q′重合时，QF=Q′F，此时QF的值最小，
PD+PQ的最小值；
∵∠FQ′A=∠Q′AB=∠B=90°，
∴四边形ABFQ′是矩形，
∴Q′F=AB=8，
∴PD+PQ的最小值是8．
故答案为：3，8．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．


【答案】（1）见解析；（2）当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形OCFD为菱形．
【解析】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE=∠CFE，
∴OD=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OB=CF，
在△FCE和△BOE中，
，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形OCFD为菱形；
理由如下：
∵∠ADC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCFD为菱形．
14．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作 交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接OB，若，，求OB的长．

【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，连接BO，

∵AB＝4，AF＝AE＝EC＝5，
∴BE＝，
∴BC＝8，
∴AC＝
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝．
15．（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得．在AD上截取，连接EH、ED．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，，求EH的长．

【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）
【解析】解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴OE⊥AC，OE=AC=OA，
∵OE=OD，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵平行四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，
∵AH=CD，
∴AH=2，
∴DH=AD－AH=4，
∵∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠DCF=∠EAF，
∴△AEH≌△CED（SAS），
∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，
∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，
∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，
∴EH2＋ED2=DH2，
∴2EH2=DH2，
∴EH=DH=×4=2．
16．（2021·福建永安·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．

【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD且AB=CD,
∵CD=DF+FC,EF=CE+FC，
又∵CE=DF，
∴CD=EF=AB,
∴AB∥EF,AB=EF,
∴四边形AFEB是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴是矩形；
（2）解：在中，
∵AC⊥BD，
∴是菱形，
∴AD=AB，BO=DO，
∵AB=5，CF=2,AB=CD,
∴DF=5-2=3=CE,
∴DE=DC+CE=5+3=8，
在中由勾股定理可得：
，
∴BE=AF=4，
∴BD=，
∴．

17．（2021·福建永安·九年级期中）如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝　 　．

【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【解析】证明：（1）在正方形ABCD中，
∠A=∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠FBO+∠OBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BOC=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠FBO=∠BCO，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF；
（2）① 如图，过点O作MN∥AB交AD、BC于点M、N，

在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴MN∥CD，
∴四边形ABNM和DMNC为矩形，
∴MN=AB=8，
设ON=a，BN=b，则OM=8-a，DM=CN=6-b，
∵△DOM∽△BON，
∴ ，即 ，
解得：，
∴ ，
∵PE⊥CF，
∴∠EOM+∠CON=90°，
∵∠OCN+∠CON=90°，
∴∠OCN=∠EOM，
∴△EOM∽△OCN，
∴ ，
∴即 ；
②在矩形ABCD中，AB∥CD ，AD∥BC，∠ABC=90°
∴CODFOB，DOEBOP，
∴，，
∴，
∴，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFC+∠BCF =90°
∵ ，
∴∠FOG=90°，
∴∠G+∠BFC =90°，
∴∠G=∠BCF，
∵∠PBG=∠CBF =90°，
∴△PBG∽△FBC，
∴，
∴，
∴．
18．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.
（1）若EF⊥BD，求DF的长;
（2）若PE⊥BD，求DF的长;
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，请直接写出DF长的取值范围.

【答案】（1）；（2）或6；（3）或．
【解析】解：（1）如图1，矩形ABCD中，

，
，，
，
点E是AD中点，
∴，
，
∴△EFD为直角三角形，
∵，
∴
．
（2）第一种情况，如图2，

则，
由对称性可得，EF平分，
，

∴是等腰三角形，过点F作FM⊥ED
DM=EM= ，
∵在Rt△DMF中，，
∴
第二种情况，如图3，

延长PE交BD于M
∵
∴∠EMD=90°
∵
∴
∴，
∵点D关于直线EF的对称点P
∴FE垂直平分PD交PD于H
∴∠HED=60°，∠HDE=30°
∴∠HDF=60°
∴∠EFD=30°
∴是等腰三角形，
∴FE垂直平分DF
∵在Rt△DME中，，
∴
∵．
∴．
综上：DF的长为2或6
（3）∵是锐角三角形
∴当PE⊥BD时DF最小，当PE⊥AD时，DF最大
由（2）可得当时，
（如图2）或6（如图3）．
当时，
第①种情况，如图4，
EF平分，，
过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
．

第②种情况，如图5，

EF平分，，过点F作于点M，
设，则，，
，
，，
，DF最大值为8，
．
综上：或．
题型三 菱形的判定与性质
1．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（　　）

A．﹣4 B．2 C．2或﹣4 D．﹣2或4
【答案】A
【解析】解：设OA＝α，OB＝β，则α+β＝﹣（2m+1）＞0，即,αβ＝m2﹣4，
Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）≥0，解得m≥﹣，
∴m的范围为m≥﹣，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中：OA2+OB2＝AB2，
即α2+β2＝52，
∴（α+β）2﹣2αβ＝25，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m﹣16＝0，
（m+4）（m﹣2）＝0，解得m1＝﹣4，m2＝2(舍去)，
∴m的值为﹣4.
故选：A．
2．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（　　）

A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接交于，
在中，，
四边形是菱形，
，
又对角线，
，
在Rt△AOB中，，
，
菱形的面积为．
故选：B．

3．（2021·四川雅安·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，ABCD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠B，
∴∠BCA+∠B=90°，
∴∠BAC＝90°，
∵ABCD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
4．（2021·广西桂平·一模）如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：如图延长交的延长线于，取的中点，连接．

∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确，
∵，
∴ ，故C正确，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故D错误，
故选：D．
5．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，．则菱形的面积为（ ）

A．12 B．10 C．6 D．24
【答案】A
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的面积．
故选：A．
6．如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A5B5C5D5的周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1∥BD，A1D1＝BD＝n，
同理：B1C1∥BD，B1C1＝BD＝n，
∴A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形，
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1，
∴四边形A1B1C1D1是矩形，其周长为2×（m＋n）＝m＋n，
同理，四边形A2B2C2D2是平行四边形，
∵A2B2＝A1C1，B2C2＝A1C1，
∴A2B2＝B2C2，
∴四边形A2B2C2D2是菱形，
同理，A3B3C3D3为矩形，周长为，
∴矩形A5B5C5D5的周长为，
故选：A．
7．（2021·山西盐湖·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点C在x轴正半轴上，顶点A在y轴正半轴上，顶点B与坐标原点O重合， ， ，将矩形ABCD沿对角线AC裁开，将沿CA方向平移得到，连接，，当四边形为菱形时，点的坐标为______．

【答案】
【解析】解：如图所示，连接与AC交于E，延长交x轴于G，
∵四边形是菱形，
∴，
∴∠AOC=∠AEO=90°，
又∵∠OAE=∠OAC，
∴△OAE∽△CAO，
∴，
∵AB=2，BC=3，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，即CD⊥x轴，
又∵由△ACD平行得到，
∴则轴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：

8．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．

【答案】
【解析】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，

∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
9．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．

【答案】1
【解析】思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；
（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．
答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，
∴MA＝1，
∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．
∴MA'＝1，
故答案为：1；
（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM1，ME＝MD•sin∠EDM，
则EC＝CD+ED＝2，
在直角△CEM中，MC，
当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：1，
故答案为1．
10．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，直线垂直平分（垂足为，直线与的另一边相交于点，且时，则______．
【答案】或
【解析】解：根据题意知不可能为矩形，所以图形有两种情况，进行分类讨论：
第一类，如下图：

垂直平分，
，
，
，
；
第二类，根据题意作图后，再过点作的平行线交于点，连接相交于点，如下图：

由（1）知，
，
，
为菱形，
在中，，

，
，
为等边三角形，根据菱形的性质得：

，
，
综上所述：或，
故答案是：或．
11．（2021·浙江金华·中考真题）如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．

【答案】2
【解析】∵∠BAD=60°，
∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,

∴在Rt△ADO中，
利用勾股定理得
又∵AC=2AO,
∴AC= ，
由题可知 =，
∴A’C=;
由平移可知 =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,
∴=∠DCA，即==30°，
∴ 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：

则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC=,
在Rt△ECF中， ,设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得：
，解得x=2，
故填：2．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为_____．

【答案】（，）．
【解析】连接CD，如图，
∵点A的对称点是点C，
∴CP＝AP，
∴CD即为DP+AP最短，
∵四边形ABCD是菱形，顶点B（8，4），
∴OA2＝AB2＝（8﹣AB）2+42，
∴AB＝OA＝BC＝OC＝5，
∴点C的坐标为（3，4），
∴可得直线OB的解析式为：y＝0.5x，
∵点D的坐标为（0，﹣2），
∴可得直线CD的解析式为：y＝2x﹣2，
∵点P是直线OB和直线CD的交点，
∴点P的坐标为方程组的解，
解方程组得：，
所以点P的坐标为（，），
故答案为：（，）．

13．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高．


【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵AE//CD，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：

DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=8，
∵CE//AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=8，
∴CF=4，
∴在Rt△CDF中，DF==4
菱形ADCE的高为．
14．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CFBD交OE的延长线于点F，连接DF．

（1）求证：四边形OCFD是矩形；
（2）若DF＝2，CF＝3，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析（2）12
【解析】证明：（1）∵CFBD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
∴OD＝FC，
∵CFBD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
（2）∵四边形OCFD是矩形，DF＝2，CF＝3，
∴OC=DF=2，OD=CF=3
∵四边形ABCD是菱形
∴AC=2OC=4，BD=2OD=6
∴菱形ABCD的面积为．
15．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在中，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接．

（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，与相似？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）t为或4时，△AED和△ABC相似．
【解析】解：（1）证明：由运动知，AE=t，CD=2t，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠C=30°，
∴DF=CD=t，
∴AE=DF；
（2）由（1）知，AE=DF，∠DFC=90°，
∵∠B=90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
在中，
设AB=x，则AC=2x
∵
∴
解得，
∴AB=5，AC=10
∵四边形AEFD是菱形，
∴AE=AD，
∵AD=AC-CD=10-2t，AE=t，
∴t=10-2t，
∴t=，
故答案为；
（3）t为或4时，△AED和△ABC相似；理由：
∵△AED和△ABC相似，
∴或，
∴或，
∴t=或t=4．
∵点D，E分别在AC，AB边上，
∴0＜t＜5，
即t为或4时，△AED和△ABC相似．
16．（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别于AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AB＝6，AD＝8，求PC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】证明：（1）由题意可得：EF⊥AC，AO=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴，
∴AE2=AO•AP，
又AC=2AO，
∴2AE2=AC•AP．
（3） 矩形 四边形AFCE是菱形，AB＝6，AD＝8，

设则

解得：，
△AOE∽△AEP，



17．已知AB、CD为⊙O的两条弦，．

（1）如图1，求证弧弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】解：（1）连接,


∵，
∴,
∴；
（2）∵，
∴,即,
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，即,
∴四边形ABEC为菱形；
（3）延长交⊙O于,连接，过作于点，


∴,,
∵,
设，
∴，
∴，
∵四边形ABEC为菱形，
∴，
∴，
∵,
∴,即，
解得：，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴，
∴,
解得：．
18．综合与实践
操作探究
（1）如图1，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点．请回答下列问题：
①与全等的三角形为______，与相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：
②若连接、，请判断四边形的形状：______．并证明你的结论；
拓展延伸
（2）如图2，矩形中，，，点、分別在、边上，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点，连接．
①设，，则与的数量关系为______；
②设，，请用含的式子表示：______；
③的最小值为______．

【答案】（1）①；或；证明见解析；②菱形，证明见解析；（2）①；②；③
【解析】解：（1）① 矩形


由折叠可得：

如图1，连接

由折叠可得：




同理：
故答案为：，或
②如图1，由①得：

矩形

四边形为平行四边形，


四边形为菱形，
（2）①如图2，连接

由折叠可得：
矩形


，，

故答案为：
②如图3，连接 交于
矩形






重合，
同理可得：

由对折可得：
四边形是菱形，




，，


故答案为：
③由②得：



当时，
最小，最小值为

的最小值为：
故答案为：
题型四 正方形的判定与性质
1．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为　　

A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
正方形的面积是4，点是边的中点，
，，
在中，，
的最小值为，
故选：．

2．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中正确结论有几个（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，△PEB、△PFD都为等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确；
∴，故②正确；
连接PC、AF，如图所示：

∴PC=EF，
∵∠ABP=∠CBP=45°，AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC=EF，
∵AF＞AP，
∴AP≠EF，故③不正确；
要使EF为最小，则PC为最小，则需满足PC⊥BD，
∴△BPC为等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴，即，
∴，
∴的最小值为，故④正确；
故选C．
3．（2021·江苏新吴·二模）如图，正方形的顶点A、D在⊙O上，边与⊙O相切，若正方形的周长记为，⊙O的周长记为，则、的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【解析】如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，

为中点，
设正方形的边长为，⊙O的半径为，

在中，


正方形周长为，⊙O的周长为
，




故选：A．
4．（2021·广东阳西·二模）如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠AGF＝90°，
∴∠GAF＋∠F＝90°，
∵∠BCF＋∠F＝90°，
∴∠GAF＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴，故此小题结论正确；
②由正方形的性质得，
∵AE平分
∴，
∴，
∴；故此小题结论正确；
③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，
∴BG＝CG，
∴∠CBG＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABG＝∠DCG，
∵AB＝DC，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴，
∵，AE平分
∴
∴
∴
故此小题结论正确；
④∵△ABG≌△DCG，
∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，
∵∠DCH＝∠ACE，
∴△DCH∽△ACE，
∴，
∴，
故此小题结论正确；
由上可知，正确的结论是①②③④，故选D．
5．（2021·山东莱西·一模）如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD边长为4，CE=CF=1，
∴，
∴，且，
∴，
∵点P、Q分别是AF、EF的中点，
∴，，
∴，
∵，,
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故选：C．
6．（2021·河北石家庄·一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形．
下列判断正确的是（ ）

A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
【答案】B
【解析】若ABCD是正方形
可设AB=BC=CD=AD=x
∴AQ=4-x，AP=3+x
∴PQ2=AQ2+AP2
∴
即x取不同值PQ不同，而QM=5，不一定为正方形；
若PQMN为正方形，则MQ=PQ=MN=PN
且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°
在△QMD和△PQA中
∠QMD=∠AQP，MQ=PQ，∠MQD=∠QPA
∴△QMP≌△PQA（ASA）
∴QD=AP
同理QD=AP=MC=BN
∴AB=CD
则四边形ABCD是正方形
7．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___．


【答案】
【解析】四边形是正方形


G是CD的中点，

在中，

BF⊥AE






故答案为：．
8．（2021·陕西陈仓·九年级期中）如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为___．

【答案】
【解析】解：如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴．
又∵

的最小值等于的最小值．
如图2，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线，连接 与的交点即为所求的点E．根据对称性可知
．
在Rt△ADH中，，
∴的最小值为．

故答案为：
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为__．

【答案】
【解析】如图所示，连接，

点关于直线的对称点为，
，
，，
，
在正方形中，，
，，
，
，
，
是直角三角形，
．
，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
10．（2021·安徽淮南·二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD的内部或边上，解答下列问题：
（1）EF＝_______；
（2）若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为_______．

【答案】 34
【解析】（1）如图，过E作EM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝AD＝8，∠A＝∠B＝90°，
∴BM＝AE＝3，EM=AB=8，∠EMF＝90°，
∴MF＝BC﹣BM﹣CF＝8﹣3﹣3＝2，
∴EF＝＝＝2，
故答案为：

（2）如图，过E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥CD于N，交EF于O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴S菱形EGFH＝EF×GH，EF⊥GH，
∴当菱形EGFH的面积最大时，只需GH值最大，
根据题意可得G，H在正方形ABCD的边上时，GH最大，
∴∠EMF＝∠GNH＝90°，EM＝GN＝AB＝8，
∵EM⊥BC，
∴EM⊥NG，
∵EF⊥GH，
∴∠MEF+∠EOG=∠NGH+∠EOG=90°，
∴∠MEF＝∠NGH，
在△EMF和△GNH中，，
∴△EMF≌△GNH（AAS），
∴GH＝EF＝2，
∴S菱形EGFH＝EF×GH＝×2×2＝34，
即菱形EGFH的最大面积为34，
故答案为：34．

11．（2021·浙江拱墅·二模）如图，在正方形ABCD中，以CD为边向形内作等边三角形CDG，连接AG，点E和F在边CD上，连接AE，BF，分别交DG，CG于点M，N，连接MN，则∠AGD＝______，若∠DAE＝∠CBF＝15°，则＝______．

【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90，AD＝CD＝BA，
∵△CDG是等边三角形，
∴GD＝CD，∠GDC＝∠DGC＝60，
∴AD＝GD，∠ADG＝30，
∴∠AGD＝∠DAG＝，
过点G作PQ⊥CD于点P，交AB于点Q，过点A作AH⊥GD于点H，

设DP＝CP＝x，
∵△CDG是等边三角形，
∴PG＝x，CD＝AD＝DG＝PQ＝2x，∠DGP＝30°，
∴GQ＝2x﹣x，
∵∠AGD＝∠DAG＝75°，
∴∠AGQ＝∠AGH＝75°，
在△AGQ和△AGH中，
，
∴△AGQ≌△AGH（AAS），
∴AH＝AQ＝DP＝x，GH＝GQ＝2x﹣x，
∵∠AMG＝∠DAE+∠ADG＝15°+30°＝45°，AH⊥GD，
∴HM＝AH＝x，
∴GM＝3x﹣x，
同理GN＝3x﹣x，
∵△CDG是等边三角形，
∴∠DGC＝60°，
∴△GMN是等边三角形，
∴MN＝GM＝3x﹣x，
∴＝＝．
故答案为：75°，．
12．（2021·广东惠州·三模）如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___（填序号）．

【答案】①②③
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OAD＝∠ODC＝45°,∠AOE=90°
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,
∴∠DAE＝∠CDF=22.5°,
∵∠AEO=∠DEG,
∴在和中
∠AOE=∠DGE＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AG⊥DF,
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中,
；；
∴△AGF≌△AGD（ASA）,
∴GF＝GD,
∴垂直平分
∴EF＝ED,
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF,
∴EF∥CD∥AB,
故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA）,
∴AD＝AF＝AB,
故③正确；
④∵EF∥CD,
∴∠OEF＝∠ODC＝45°,
∵∠COD＝90°,
∴EF＝ED＝,
∵EF＝ED
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴AB＝AD＝,

故④错误．故选：C．
13．（2021·广东·高州一中九年级期中）已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）正方形，见解析
【解析】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形．
14．（2021·江苏·南师附中新城初中二模）如图,在正方形中,､､､分别是各边上的点,且．

求证:（1）;
（2）四边形是正方形．
【答案】（1）见解析;（2）见解析
【解析】（1）证明:∵四边形为正方形,
∴,．
又∵,
∴．
∴
（2）由（1）得,,
同理,,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为正方形．
15．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝12时，求线段GE的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成1∶2两部分，求的值．

【答案】（1）见解析（2）4（3）5或8．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，
∴∠DHC＋∠DCH＝90°，
∵CH⊥BE，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ECF＋∠BEC＝90°，
∴∠CHD＝∠BEC，
∴△DHC≌△CEB（AAS），
∴CH＝BE；
（2）∵△DHC≌△CEB，
∴CH＝BE，DH＝CE，
∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，
∴DH＝BC，
∵DHBC，

∴，
∴GC＝2GH，
设GH＝x，则，则CG＝2x，
∴3x＝12，
∴x＝4．
即GH＝4
∵DH=DE，∠HDG=∠EDG=45°，DG=DG
∴△HDG≌△EDG（SAS）
∴GE=GH=4；
（3）点E将CD分成1∶2两部分
则①，②
当时，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，

∴，
∴，，
设S△DGH＝a，则S△BCG＝9a，S△DCG＝3a，
∴S△BCD＝9a＋3a＝12a，
∴S1＝2S△BCD＝24a，
∵S△DEG：S△CEG＝2：1，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋a＝3a．
∴S1：S2＝24a：3a＝8．
当时，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DHBC，

∴，
∴，，
设S△DGH＝4a，则S△BCG＝9a，S△DCG＝6a，
∴S△BCD＝9a＋6a＝15a，
∴S1＝2S△BCD＝30a，
∵S△DEG：S△CEG＝1：2，
∴S△DEG＝2a，
∴S2＝2a＋4a＝6a．
∴S1：S2＝30a：6a＝5．
故S1：S2＝5或8．
16．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积．

【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHG=90°，
∴∠DHG+∠AHG=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，
即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
17．（2021·四川·达州中学九年级期中）某数学兴趣小组在数学课外活动 ，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（观察与猜想）
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且，则的值为______；

（类比探究）
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（拓展延伸）
（4）如图4，在中，，，，将沿BD翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，．
①求的值；
②连接BF，若，直接写出BF的长度．
【答案】（1）1（2）（3）见解析（4）①；②BF＝．
【解析】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
故答案为：1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG＋∠ECD＝90°，∠ADB＋∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH＋∠CFH＝∠DFG＋∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG＋∠CFG＝∠CFG＋∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，
∴，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵AH2＋DH2＝AD2，
∴a2＋（3a）2＝92，
∴a＝（负值舍去），
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AC•DH＝AD•CG，
∴××＝×9CG，
∴CG＝，
∴；
②∵AC＝，CG＝，∠AGC＝90°，
∴AG＝，
由①得△DEA∽△CFG，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG＝，
∴AF＝AG−FG＝−＝，
∴BF＝．
18．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）（1）[问题发现]
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为 　 　；
（2）[拓展研究]
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；
（3）[问题发现]
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

【答案】（1）BE＝AF；（2）无变化，证明见解析，（3）2﹣2或2+2．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，
根据勾股定理得，BC＝AB＝4，
点D为BC的中点，
∴AD＝BC＝2，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF＝EF＝AD＝2，
∵BE＝AB＝4，
∴BE＝AF，
故答案为BE＝AF；
（2）无变化；
如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠ABC＝＝，
在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，
∴＝，
∵∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCE+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴＝＝，
∴BE＝AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，
由（1）知，CF＝EF＝CD＝2，
在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝4，
根据勾股定理得，BF＝2，
∴BE＝BF﹣EF＝2﹣2，
由（2）知，BE＝AF，
∴AF＝2﹣2，

当点E在线段BF的延长线上时，如图3，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠ABC＝＝，
在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，
∴＝，
∵∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA＝∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴＝＝，
∴BE＝AF，
由（1）知，CF＝EF＝CD＝2，
在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝4，
根据勾股定理得，BF＝2，
∴BE＝BF+EF＝2+2，
由（2）知，BE＝AF，
∴AF＝2+2．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为2﹣2或2+2．