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浙江省台州市路桥区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷
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这是一份浙江省台州市路桥区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省台州市路桥区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
2．（3分）为完成下列任务，采用抽样调查较合适的是（ ）
A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
B．了解七年级（1）班全体学生的身高
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间
D．调查一批灯泡的使用寿命
3．（3分）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．（3分）估算﹣1的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（3分）一元一次不等式组的解集为（ ）
A．x＜4 B．x≥3 C．3≤x＜4 D．无解
6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
7．（3分）已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．＞
8．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，y，同时已经列出一个方程为y﹣x＝4.5，则另一个方程为（ ）
A． B． C．2x﹣y＝1 D．y﹣2x＝1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，1） C．（2023，0） D．（2023，﹣1）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程x+ay＝1的解 ．
13．（4分）某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点） ．
14．（4分）已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴 .（写出一个即可）
15．（4分）某中学需购买不同类型的垃圾桶共20个，已知可回收垃圾桶每个100元，易腐垃圾桶每个200元，则购买垃圾桶的总费用至少需要 元．
16．（4分）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线MN∥PQ，C分别在直线MN，PQ上，PQ之间，∠ACB＝60°
（1）当∠BCP＝35°时，∠MAB＝ °．
（2）如图2，在线段AB上取一点D，过点D作直线EF∥PQ，若射线CG平分∠ACP，且满足∠BDE＝∠EDG °．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式3（x﹣1）＜x+1，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）完成下面的证明过程．
已知：如图，点D在BC上，DE，AE∥BC，∠E＝∠C．
求证：∠BFD＝∠BAC．
证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠E＝ （ ）．
∵∠E＝∠C（已知），
∴∠C＝ ．
∴AC∥ （ ）．
∴∠BFD＝∠BAC（ ）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，5），B（﹣2，0），C（﹣5，3）．
（1）把三角形ABC向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到三角形A′B′C′，画出三角形 A′B′C′并写出点C′的坐标．
（2）连接AA′，BB′，可以得到平行四边形AA′B′B
21．（8分）路桥某学校近期开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好的用眼习惯，降低近视率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为多少度？
（3）若该学校共有学生2000人，请估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数，并给出合理的建议．
22．（10分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给“希望工程”
23．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4）（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
24．（12分）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点A，B，C，B′，C′，设∠EFB＝α（0＜α＜90°）．
（1）若C′D′在直线AD的上方，当α＝50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
（2）在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系
（3）在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F
2022-2023学年浙江省台州市路桥区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【答案】C
【分析】根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断．
【解答】解：A．（2，故本选项不合题意；
B．（2，故本选项不合题意；
C．（﹣6，故本选项符合题意；
D．（﹣2，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（3分）为完成下列任务，采用抽样调查较合适的是（ ）
A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
B．了解七年级（1）班全体学生的身高
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间
D．调查一批灯泡的使用寿命
【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查，采用全面调查的方式．
B．了解七年级（1）班全体学生的身高，采用全面调查的方式．
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间，采用全面调查的方式．
D．调查一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式．
故选：D．
【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
3．（3分）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
4．（3分）估算﹣1的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】估算得出的范围，即可求出所求．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜2，
则2＜﹣1＜6，
故选：B．
【点评】此题考查了无理数的估算方法，弄清无理数的估算方法是解本题的关键．
5．（3分）一元一次不等式组的解集为（ ）
A．x＜4 B．x≥3 C．3≤x＜4 D．无解
【答案】C
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣3≥0，得x≥8，
故一元一次不等式组的解集为3≤x＜4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【答案】B
【分析】证明AD＝BE，可得结论．
【解答】解：∵AB＝DE，
∴AD＝BE＝4，
∵AE＝13，
∴BD＝13﹣4﹣4＝5，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
7．（3分）已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．＞
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣8＞b﹣3，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣7b，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣＞，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠2＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
9．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，y，同时已经列出一个方程为y﹣x＝4.5，则另一个方程为（ ）
A． B． C．2x﹣y＝1 D．y﹣2x＝1
【答案】A
【分析】由所列的方程，可找出x，y表示的含义，再结合“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出另一个二元一次方程．
【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x表示长木的长度，y表示绳子的长度，
又∵将绳子对折再量长木，长木还剩余8尺，
∴x﹣＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，1） C．（2023，0） D．（2023，﹣1）
【答案】D
【分析】先写出A1，A2，A3，A4，A5 的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标与各A点的下标相同，纵坐标分别为1，0，﹣1，0，且每4个点一循环，按照此规律解答即可．
【解答】解：观察图形可知：A1（1，8），A2（2，6），A3（3，﹣7），0），
∴A2023 的横坐标为2023，
∵2023÷4＝505•••3，
∴A2023 的纵坐标为﹣1，
∴A2023 的坐标为（2023，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝3，
∴4的算术平方根是2，即＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
12．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程x+ay＝1的解 3 ．
【答案】3．
【分析】将代入原方程，可得出4﹣a＝1，解之即可求出a的值．
【解答】解：将代入原方程得：8﹣a＝1，
解得：a＝3，
∴a的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
13．（4分）某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点） 0.56 ．
【答案】0.56．
【分析】根据题意和直方图中的数据，用阅读时间不少于4.7小时学生的人数除以50即可．
【解答】解：可以估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为＝0.56．
故答案为：0.56．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴 （3，﹣1）（答案不唯一） .（写出一个即可）
【答案】（3，﹣1）（答案不唯一）．
【分析】根据垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等，即可解答．
【解答】解：已知点P（3，1），若直线PQ垂直于x轴，﹣4），
故答案为：（3，﹣1）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等是解题的关键．
15．（4分）某中学需购买不同类型的垃圾桶共20个，已知可回收垃圾桶每个100元，易腐垃圾桶每个200元，则购买垃圾桶的总费用至少需要 3000 元．
【答案】3000．
【分析】设购买可回收垃圾桶x个，可得2920≤100x+200（20﹣x）≤3100，由x为正整数，知x可取9或10，而易腐垃圾桶每个费用更高，故购买可回收垃圾10个，易腐垃圾桶10个总费用低，此时总费用为10×100+10×200＝3000（元）．
【解答】解：设购买可回收垃圾桶x个，则购买易腐垃圾桶（20﹣x）个，
∵购买垃圾桶总费用不超过3100元且不低于2920元，
∴2920≤100x+200（20﹣x）≤3100，
解得9≤x≤10.8，
∵x为正整数，
∴x可取8或10，
∴购买可回收垃圾9个，易腐垃圾桶11个或购买可回收垃圾10个，
∵易腐垃圾桶每个费用更高，
∴购买可回收垃圾10个，易腐垃圾桶10个总费用低，
故答案为：3000．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出关于x的不等式组，解得x的范围．
16．（4分）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线MN∥PQ，C分别在直线MN，PQ上，PQ之间，∠ACB＝60°
（1）当∠BCP＝35°时，∠MAB＝ 55 °．
（2）如图2，在线段AB上取一点D，过点D作直线EF∥PQ，若射线CG平分∠ACP，且满足∠BDE＝∠EDG 40 °．
【答案】（1）55；
（2）40．
【分析】（1）易得∠BAC＝30°，∠ACP＝95°，根据平行线的性质求得∠MAC＝85°，则∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC；
（2）设∠BCP＝α，则∠ACP＝60°+α，由角平分线的定义可得∠GCP＝∠GCA＝∠ACP＝30°+，由平行线的性质得∠EDG＝∠GCP＝30°+，于是求得∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝60°+α＝∠ADC，在三角形ADC中，利用三角形内角和定求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，∠B＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BCP＝35°，
∴∠ACP＝∠BCP+∠ACB＝35°+60°＝95°，
∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝180°﹣∠ACP＝180°﹣95°＝85°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝85°﹣30°＝55°；
故答案为：55；
（2）设∠BCP＝α，则∠ACP＝∠ACB+∠BCP＝60°+α，
∵射线CG平分∠ACP，
∴∠GCP＝∠GCA＝∠ACP＝30°+，
∵EF∥PQ，
∴∠EDG＝∠GCP＝30°+，
∵∠BDE＝∠EDG＝30°+，
∴∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝60°+α＝∠ADC，
∵∠ADC+∠GCA+∠CAB＝180°，
∴60°+α+30°++30°＝180°，
解得：α＝40°，
∴∠BCP＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）计算：．
【答案】3+．
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）解不等式3（x﹣1）＜x+1，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】本题考查一元一次不等式，之前进行不等式的计算是解题关键．
【分析】先去括号，再移项得到3x﹣3＜x+1，然后合并即可，再用数轴表示解集．
【解答】解：去括号得3x﹣3＜x+6，
移项得3x﹣x＜4合并得x＜6，
用数轴表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
19．（6分）完成下面的证明过程．
已知：如图，点D在BC上，DE，AE∥BC，∠E＝∠C．
求证：∠BFD＝∠BAC．
证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠E＝ ∠BDE （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠E＝∠C（已知），
∴∠C＝ ∠BDE ．
∴AC∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠BFD＝∠BAC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【答案】∠BDE；两直线平行，内错角相等；∠BDE；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠E＝∠BDE，由等量代换得到∠C＝∠BDE，进而由同位角相等，两直线平行得AC∥DE，根据两直线平行，同位角相等即可得到∠BFD＝∠BAC．
【解答】证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠E＝∠BDE（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠C（已知），
∴∠C＝∠BDE，
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠BFD＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠BDE；两直线平行；∠BDE；同位角相等；两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．平行线的性质定理：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，5），B（﹣2，0），C（﹣5，3）．
（1）把三角形ABC向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到三角形A′B′C′，画出三角形 A′B′C′并写出点C′的坐标．
（2）连接AA′，BB′，可以得到平行四边形AA′B′B
【答案】（1）图形见解析，C'（0，1）；
（2）25．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）由图形结合平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，三角形A'B'C'即为所求，1）；
（2）平行四边形AA′B′B的面积＝5AB＝8×5＝25．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
21．（8分）路桥某学校近期开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好的用眼习惯，降低近视率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 80 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为多少度？
（3）若该学校共有学生2000人，请估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数，并给出合理的建议．
【答案】（1）80；（2）图见解析，扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；（3）该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和“优秀”的总人数为1500人．建议见解析．
【分析】（1）由“优秀”的有36人，占45%，可求被抽样调查的学生人数；
（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图；根据被抽样调查的学生人数和求“合格”人数可得扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解答】解：（1）被抽样调查的学生人数是：36÷45%＝80（人），
故答案为：80；
（2）“良好”的人数：80：36﹣16﹣4＝24（人），
补全图形如下：
360°×＝72°，
∴扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；
（3）估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和优秀的人数为：
2000×＝2000×，
答：估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和“优秀”的总人数为1500人．
该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为500人，建议该校开展“近视防控”知识主题班会课等相关活动．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（10分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给“希望工程”
【答案】（1）该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；
（2）该玩具店捐赠了820元．
【分析】（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，利用总价＝单价×数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用该玩具店捐赠钱数＝每个吉祥物的销售利润×销售数量×20%，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，
根据题意得：，
解得：．
答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；
（2）根据题意得：[（80﹣60）×40+（100﹣70）×60+（90﹣60）×50]×20%
＝（20×40+30×60+30×50）×20%
＝（800+1800+1500）×20%
＝4100×20%
＝820（元）．
答：该玩具店捐赠了820元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
23．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4）（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 （﹣5，﹣7） ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【答案】（1）（﹣5，﹣7）．
（2）1．
（3）或．
【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；
（2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解；
（3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值．
【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“8阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，即坐标为（﹣2．
故答案为：（﹣5，﹣7）．
（2）∵点B（7，﹣3），
∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．
又∵（7a﹣3，2﹣6a）在第三象限，
∴，
解得 ，
∵a取整数，
∴a＝1；
（3）∵点C（m+7，1﹣3m），
∴点C的“﹣6阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣6）．
∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴|16m﹣2|＝1，
∴16m﹣3＝4 或 16m﹣3＝﹣1．
解得 或 ．
【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决问题．
24．（12分）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点A，B，C，B′，C′，设∠EFB＝α（0＜α＜90°）．
（1）若C′D′在直线AD的上方，当α＝50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
（2）在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系
（3）在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F
【答案】（1）40°；
（2）猜想：EF⊥GH，理由见解析过程；
（3）∠CHG＝90°﹣a 或 180°﹣a．
【分析】（1）由折叠的性质可得：∠BFB'＝2∠EFB＝100°，∠CHG＝∠CHC'，由平行线的性质可得∠CHC'＝∠B'FH＝80°，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠PFH＝∠CHG＝40°，可求∠EFP＝90°，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解．
【解答】解：（1）由折叠得：∠BFB'＝2∠EFB＝100°，∠CHG＝，
∴∠B'FH＝180°﹣100°＝80°，
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC'＝∠B'FH＝80°，
∴∠CHG＝∠CHC'＝；
（2）猜想：EF⊥GH，
理由如下：如图1，过点F作FP∥HG交AD于点P，
∴∠PFH＝∠CHG＝40°，
∴∠EFB＝50°，
∴∠EFP＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
即EF⊥FP．
又∵FP∥HG，
∴EF⊥GH；
（3）∠CHG＝90°﹣a 或 180°﹣a，
解题提示：
如图8，当C′D′在直线AD的上方时，
由折叠得：∠BFB′＝2∠EFB＝2α，∠CHG＝，
∴∠B'FH＝180°﹣2a．
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC'＝∠B'FH＝180°﹣3a．
∴∠CHG＝∠CHC'＝；
如图3，当C′D在直线AD的下方时，
由折叠得：∠BFB′＝8∠EFB＝2α，
∵AD∥BC，
∴∠BFB′＝∠FPG＝2α，
∴∠DGH+∠CHG＝180°，
∵C′H∥B′F，C′H∥D′G，
∴D′G∥B′F，
∴∠DGD′＝∠FPG＝2α．
∴，
∴∠CHG＝180°﹣a，
综上所述：∠CHG＝90°﹣a 或 180°﹣a．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键
2022-2023学年浙江省台州市路桥区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
2．（3分）为完成下列任务，采用抽样调查较合适的是（ ）
A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
B．了解七年级（1）班全体学生的身高
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间
D．调查一批灯泡的使用寿命
3．（3分）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．（3分）估算﹣1的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（3分）一元一次不等式组的解集为（ ）
A．x＜4 B．x≥3 C．3≤x＜4 D．无解
6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
7．（3分）已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．＞
8．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，y，同时已经列出一个方程为y﹣x＝4.5，则另一个方程为（ ）
A． B． C．2x﹣y＝1 D．y﹣2x＝1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，1） C．（2023，0） D．（2023，﹣1）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程x+ay＝1的解 ．
13．（4分）某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点） ．
14．（4分）已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴 .（写出一个即可）
15．（4分）某中学需购买不同类型的垃圾桶共20个，已知可回收垃圾桶每个100元，易腐垃圾桶每个200元，则购买垃圾桶的总费用至少需要 元．
16．（4分）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线MN∥PQ，C分别在直线MN，PQ上，PQ之间，∠ACB＝60°
（1）当∠BCP＝35°时，∠MAB＝ °．
（2）如图2，在线段AB上取一点D，过点D作直线EF∥PQ，若射线CG平分∠ACP，且满足∠BDE＝∠EDG °．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式3（x﹣1）＜x+1，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）完成下面的证明过程．
已知：如图，点D在BC上，DE，AE∥BC，∠E＝∠C．
求证：∠BFD＝∠BAC．
证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠E＝ （ ）．
∵∠E＝∠C（已知），
∴∠C＝ ．
∴AC∥ （ ）．
∴∠BFD＝∠BAC（ ）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，5），B（﹣2，0），C（﹣5，3）．
（1）把三角形ABC向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到三角形A′B′C′，画出三角形 A′B′C′并写出点C′的坐标．
（2）连接AA′，BB′，可以得到平行四边形AA′B′B
21．（8分）路桥某学校近期开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好的用眼习惯，降低近视率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为多少度？
（3）若该学校共有学生2000人，请估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数，并给出合理的建议．
22．（10分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给“希望工程”
23．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4）（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
24．（12分）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点A，B，C，B′，C′，设∠EFB＝α（0＜α＜90°）．
（1）若C′D′在直线AD的上方，当α＝50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
（2）在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系
（3）在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F
2022-2023学年浙江省台州市路桥区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【答案】C
【分析】根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断．
【解答】解：A．（2，故本选项不合题意；
B．（2，故本选项不合题意；
C．（﹣6，故本选项符合题意；
D．（﹣2，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（3分）为完成下列任务，采用抽样调查较合适的是（ ）
A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查
B．了解七年级（1）班全体学生的身高
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间
D．调查一批灯泡的使用寿命
【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．对乘坐飞机的乘客进行安全检查，采用全面调查的方式．
B．了解七年级（1）班全体学生的身高，采用全面调查的方式．
C．了解小明同学某周每天参加体育运动的时间，采用全面调查的方式．
D．调查一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式．
故选：D．
【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
3．（3分）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
4．（3分）估算﹣1的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】估算得出的范围，即可求出所求．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜2，
则2＜﹣1＜6，
故选：B．
【点评】此题考查了无理数的估算方法，弄清无理数的估算方法是解本题的关键．
5．（3分）一元一次不等式组的解集为（ ）
A．x＜4 B．x≥3 C．3≤x＜4 D．无解
【答案】C
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣3≥0，得x≥8，
故一元一次不等式组的解集为3≤x＜4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【答案】B
【分析】证明AD＝BE，可得结论．
【解答】解：∵AB＝DE，
∴AD＝BE＝4，
∵AE＝13，
∴BD＝13﹣4﹣4＝5，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
7．（3分）已知a＞b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣4a＞﹣4b D．＞
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a﹣8＞b﹣3，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣7b，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣＞，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠2＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
9．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，y，同时已经列出一个方程为y﹣x＝4.5，则另一个方程为（ ）
A． B． C．2x﹣y＝1 D．y﹣2x＝1
【答案】A
【分析】由所列的方程，可找出x，y表示的含义，再结合“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出另一个二元一次方程．
【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x表示长木的长度，y表示绳子的长度，
又∵将绳子对折再量长木，长木还剩余8尺，
∴x﹣＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1O2O3，…组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点O，第一步1（1，1）；第二步，从点A1跳到点A2（2，0）；第三步，从点A2跳到点A3（3，﹣1）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点A2023时的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，1） C．（2023，0） D．（2023，﹣1）
【答案】D
【分析】先写出A1，A2，A3，A4，A5 的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标与各A点的下标相同，纵坐标分别为1，0，﹣1，0，且每4个点一循环，按照此规律解答即可．
【解答】解：观察图形可知：A1（1，8），A2（2，6），A3（3，﹣7），0），
∴A2023 的横坐标为2023，
∵2023÷4＝505•••3，
∴A2023 的纵坐标为﹣1，
∴A2023 的坐标为（2023，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝3，
∴4的算术平方根是2，即＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
12．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程x+ay＝1的解 3 ．
【答案】3．
【分析】将代入原方程，可得出4﹣a＝1，解之即可求出a的值．
【解答】解：将代入原方程得：8﹣a＝1，
解得：a＝3，
∴a的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
13．（4分）某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点） 0.56 ．
【答案】0.56．
【分析】根据题意和直方图中的数据，用阅读时间不少于4.7小时学生的人数除以50即可．
【解答】解：可以估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为＝0.56．
故答案为：0.56．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）已知点P（3，1），点Q在第四象限，若直线PQ垂直于x轴 （3，﹣1）（答案不唯一） .（写出一个即可）
【答案】（3，﹣1）（答案不唯一）．
【分析】根据垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等，即可解答．
【解答】解：已知点P（3，1），若直线PQ垂直于x轴，﹣4），
故答案为：（3，﹣1）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等是解题的关键．
15．（4分）某中学需购买不同类型的垃圾桶共20个，已知可回收垃圾桶每个100元，易腐垃圾桶每个200元，则购买垃圾桶的总费用至少需要 3000 元．
【答案】3000．
【分析】设购买可回收垃圾桶x个，可得2920≤100x+200（20﹣x）≤3100，由x为正整数，知x可取9或10，而易腐垃圾桶每个费用更高，故购买可回收垃圾10个，易腐垃圾桶10个总费用低，此时总费用为10×100+10×200＝3000（元）．
【解答】解：设购买可回收垃圾桶x个，则购买易腐垃圾桶（20﹣x）个，
∵购买垃圾桶总费用不超过3100元且不低于2920元，
∴2920≤100x+200（20﹣x）≤3100，
解得9≤x≤10.8，
∵x为正整数，
∴x可取8或10，
∴购买可回收垃圾9个，易腐垃圾桶11个或购买可回收垃圾10个，
∵易腐垃圾桶每个费用更高，
∴购买可回收垃圾10个，易腐垃圾桶10个总费用低，
故答案为：3000．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出关于x的不等式组，解得x的范围．
16．（4分）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线MN∥PQ，C分别在直线MN，PQ上，PQ之间，∠ACB＝60°
（1）当∠BCP＝35°时，∠MAB＝ 55 °．
（2）如图2，在线段AB上取一点D，过点D作直线EF∥PQ，若射线CG平分∠ACP，且满足∠BDE＝∠EDG 40 °．
【答案】（1）55；
（2）40．
【分析】（1）易得∠BAC＝30°，∠ACP＝95°，根据平行线的性质求得∠MAC＝85°，则∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC；
（2）设∠BCP＝α，则∠ACP＝60°+α，由角平分线的定义可得∠GCP＝∠GCA＝∠ACP＝30°+，由平行线的性质得∠EDG＝∠GCP＝30°+，于是求得∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝60°+α＝∠ADC，在三角形ADC中，利用三角形内角和定求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，∠B＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BCP＝35°，
∴∠ACP＝∠BCP+∠ACB＝35°+60°＝95°，
∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝180°﹣∠ACP＝180°﹣95°＝85°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝85°﹣30°＝55°；
故答案为：55；
（2）设∠BCP＝α，则∠ACP＝∠ACB+∠BCP＝60°+α，
∵射线CG平分∠ACP，
∴∠GCP＝∠GCA＝∠ACP＝30°+，
∵EF∥PQ，
∴∠EDG＝∠GCP＝30°+，
∵∠BDE＝∠EDG＝30°+，
∴∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝60°+α＝∠ADC，
∵∠ADC+∠GCA+∠CAB＝180°，
∴60°+α+30°++30°＝180°，
解得：α＝40°，
∴∠BCP＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）计算：．
【答案】3+．
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）解不等式3（x﹣1）＜x+1，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】本题考查一元一次不等式，之前进行不等式的计算是解题关键．
【分析】先去括号，再移项得到3x﹣3＜x+1，然后合并即可，再用数轴表示解集．
【解答】解：去括号得3x﹣3＜x+6，
移项得3x﹣x＜4合并得x＜6，
用数轴表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
19．（6分）完成下面的证明过程．
已知：如图，点D在BC上，DE，AE∥BC，∠E＝∠C．
求证：∠BFD＝∠BAC．
证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠E＝ ∠BDE （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠E＝∠C（已知），
∴∠C＝ ∠BDE ．
∴AC∥ DE （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠BFD＝∠BAC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【答案】∠BDE；两直线平行，内错角相等；∠BDE；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠E＝∠BDE，由等量代换得到∠C＝∠BDE，进而由同位角相等，两直线平行得AC∥DE，根据两直线平行，同位角相等即可得到∠BFD＝∠BAC．
【解答】证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠E＝∠BDE（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠C（已知），
∴∠C＝∠BDE，
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠BFD＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠BDE；两直线平行；∠BDE；同位角相等；两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．平行线的性质定理：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，5），B（﹣2，0），C（﹣5，3）．
（1）把三角形ABC向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到三角形A′B′C′，画出三角形 A′B′C′并写出点C′的坐标．
（2）连接AA′，BB′，可以得到平行四边形AA′B′B
【答案】（1）图形见解析，C'（0，1）；
（2）25．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）由图形结合平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，三角形A'B'C'即为所求，1）；
（2）平行四边形AA′B′B的面积＝5AB＝8×5＝25．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
21．（8分）路桥某学校近期开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好的用眼习惯，降低近视率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 80 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为多少度？
（3）若该学校共有学生2000人，请估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数，并给出合理的建议．
【答案】（1）80；（2）图见解析，扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；（3）该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和“优秀”的总人数为1500人．建议见解析．
【分析】（1）由“优秀”的有36人，占45%，可求被抽样调查的学生人数；
（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图；根据被抽样调查的学生人数和求“合格”人数可得扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解答】解：（1）被抽样调查的学生人数是：36÷45%＝80（人），
故答案为：80；
（2）“良好”的人数：80：36﹣16﹣4＝24（人），
补全图形如下：
360°×＝72°，
∴扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；
（3）估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和优秀的人数为：
2000×＝2000×，
答：估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”和“优秀”的总人数为1500人．
该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为500人，建议该校开展“近视防控”知识主题班会课等相关活动．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（10分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）后来该玩具店以60元/个的价格购进50个吉祥物“宸宸”，并以90元/个的价格售出，这家店将销售完这150个吉祥物所得利润的20%捐赠给“希望工程”
【答案】（1）该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；
（2）该玩具店捐赠了820元．
【分析】（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，利用总价＝单价×数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用该玩具店捐赠钱数＝每个吉祥物的销售利润×销售数量×20%，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，
根据题意得：，
解得：．
答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；
（2）根据题意得：[（80﹣60）×40+（100﹣70）×60+（90﹣60）×50]×20%
＝（20×40+30×60+30×50）×20%
＝（800+1800+1500）×20%
＝4100×20%
＝820（元）．
答：该玩具店捐赠了820元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
23．（10分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4）（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 （﹣5，﹣7） ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【答案】（1）（﹣5，﹣7）．
（2）1．
（3）或．
【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；
（2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解；
（3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值．
【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“8阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，即坐标为（﹣2．
故答案为：（﹣5，﹣7）．
（2）∵点B（7，﹣3），
∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．
又∵（7a﹣3，2﹣6a）在第三象限，
∴，
解得 ，
∵a取整数，
∴a＝1；
（3）∵点C（m+7，1﹣3m），
∴点C的“﹣6阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣6）．
∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴|16m﹣2|＝1，
∴16m﹣3＝4 或 16m﹣3＝﹣1．
解得 或 ．
【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决问题．
24．（12分）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点A，B，C，B′，C′，设∠EFB＝α（0＜α＜90°）．
（1）若C′D′在直线AD的上方，当α＝50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
（2）在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系
（3）在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F
【答案】（1）40°；
（2）猜想：EF⊥GH，理由见解析过程；
（3）∠CHG＝90°﹣a 或 180°﹣a．
【分析】（1）由折叠的性质可得：∠BFB'＝2∠EFB＝100°，∠CHG＝∠CHC'，由平行线的性质可得∠CHC'＝∠B'FH＝80°，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠PFH＝∠CHG＝40°，可求∠EFP＝90°，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解．
【解答】解：（1）由折叠得：∠BFB'＝2∠EFB＝100°，∠CHG＝，
∴∠B'FH＝180°﹣100°＝80°，
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC'＝∠B'FH＝80°，
∴∠CHG＝∠CHC'＝；
（2）猜想：EF⊥GH，
理由如下：如图1，过点F作FP∥HG交AD于点P，
∴∠PFH＝∠CHG＝40°，
∴∠EFB＝50°，
∴∠EFP＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
即EF⊥FP．
又∵FP∥HG，
∴EF⊥GH；
（3）∠CHG＝90°﹣a 或 180°﹣a，
解题提示：
如图8，当C′D′在直线AD的上方时，
由折叠得：∠BFB′＝2∠EFB＝2α，∠CHG＝，
∴∠B'FH＝180°﹣2a．
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC'＝∠B'FH＝180°﹣3a．
∴∠CHG＝∠CHC'＝；
如图3，当C′D在直线AD的下方时，
由折叠得：∠BFB′＝8∠EFB＝2α，
∵AD∥BC，
∴∠BFB′＝∠FPG＝2α，
∴∠DGH+∠CHG＝180°，
∵C′H∥B′F，C′H∥D′G，
∴D′G∥B′F，
∴∠DGD′＝∠FPG＝2α．
∴，
∴∠CHG＝180°﹣a，
综上所述：∠CHG＝90°﹣a 或 180°﹣a．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键
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