四川省达州市渠县三江中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份四川省达州市渠县三江中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共33页。
2022-2023学年四川省达州市渠县三江中学八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．（3分）在式子；；；；；；中，分式的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．36° D．70°
3．（3分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
4．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，则点B'与点B之间的距离为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．
6．（3分）把分式中的x，y同时扩大到原来的2倍（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不改变
7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果a：b：c＝1：1：，那么△ABC是直角三角形
B．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是直角三角形
C．如果a＝c，b＝c，那么△ABC为直角三角形
D．如果b2＝a2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，AB＝BC
①∠CAD＝30°；
②S▱ABCD＝AB•AC；
③OB＝AB；
④OE＝BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4且关于y的分式方程有整数解（　　）
A．0 B．12 C．4 D．5
10．（3分）如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（　　）

A．16 B．14 C．8 D．7
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．（3分）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　 　．
12．（3分）若关于x的不等式x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 　 　．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，交AC于点E，若BC＝BD，BC＝8cm，AB＝10cm　 　．

14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2）（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 　 　个．

16．（3分）如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0），则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为　 　．

17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　cm．

18．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，则四边形EFGH的周长是　 　．

三．解答题（满分66分）
19．（7分）分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
20．（7分）先化简．再求值：÷（﹣x+2），其中x＝﹣．
21．（7分）解不等式或不等式组：
（1）．
（2）并写出该不等式组的最小整数解．
22．（7分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　 　

24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，将△ABC绕点C旋转，使得点B落在AB边上点D处，连接AE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）求△AFE的面积．

25．（7分）二月樱花开，四月樱桃红，随着樱桃成熟上市，另花费1000元购进红灯樱桃，黄蜜樱桃的进价是红灯樱桃的进价的2倍
（1）求红灯樱桃每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出红灯樱桃3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，购进的红灯樱桃剩余部分全部售罄、若购进的红灯樱桃总利润不低于770元，求m的最小值．
26．（7分）已知：点D是△ABC边BC所在直线上的一个动点（点D与点B，C不重合），∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D绕点A顺时针转90°得到点E，连接BE，DE．

（1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，请你判断线段BE与线段CD之间的关系
（2）如图2，当点D在线段BC上，且BD＝2CD时
（3）点D绕点A逆时针转90°得到点F，连接CF，AF，当∠EAB＝15°时，直接写出线段CF的长．
27．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为．

（1）填空：点C的坐标为　 　；平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为 　 　；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形

2022-2023学年四川省达州市渠县三江中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．（3分）在式子；；；；；；中，分式的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：在式子；；；；；；中，
分式有：；；；，
即分式有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．36° D．70°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形两底角相等以及三角形的外角性质定理，即可进行解答．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝2x，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
3．（3分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
【答案】D
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、a2+（﹣b）2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
B、4m2﹣20m＝5m（m﹣8），无法运用平方差公式分解因式；
C、﹣x2﹣y2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D、﹣x6+9＝（3﹣x）（4+x），符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
4．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣8≠0，
解得：x≥﹣1且x≠8．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，则点B'与点B之间的距离为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质，可证△ACA'、△BCB'都是等边三角形，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：如图，连接BB'，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，
∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，
∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝8，
∴BC＝＝＝2，
∴BB'＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（3分）把分式中的x，y同时扩大到原来的2倍（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不改变
【答案】D
【分析】将原式中的x，y分别用2x，2y代换进行计算化简可得此题结果．
【解答】解：将原式中的x，y分别用2x，

＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】此题考查了分数基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果a：b：c＝1：1：，那么△ABC是直角三角形
B．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是直角三角形
C．如果a＝c，b＝c，那么△ABC为直角三角形
D．如果b2＝a2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°
【答案】D
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a：b：c＝1：1：，
∴设a＝k，b＝kk，
∴a2+b8＝k2+k2＝5k2，c2＝（k）2＝2k8，
∴a2+b2＝c3，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a＝cc，
∴a3+b2＝（c）2+（c）2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵b7＝a2﹣c2，
∴b3+c2＝a2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A＝90°，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，AB＝BC
①∠CAD＝30°；
②S▱ABCD＝AB•AC；
③OB＝AB；
④OE＝BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE＝∠EAD＝60°推出△ABE是等边三角形，由于AB＝BC，得到AE＝BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD＝30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE＝AB，于是得到OE＝BC，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，
∵AB＝BCBD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE＝BE，CO＝OA，
∴OE＝AB，
∴OE＝BC．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
9．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4且关于y的分式方程有整数解（　　）
A．0 B．12 C．4 D．5
【答案】C
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m的值，进而求出之积即可．
【解答】解：，
解①得x≤8m+2，
解②得x≤4，
∵不等式组的解集为x≤4，
∴2m+2≥4，
∴m≥3．
，
两边都乘以y﹣2，得
my+y﹣4＝3y，
∴，
∵m≥1，分式方程，
∴m﹣4＝﹣2，﹣1，8，2，
∴m＝1，2，4，
∵y﹣2≠7，
∴y≠2，
∴，
∴m﹣2≠7，
∴m≠3，
∴m＝1，5，
∴1×4＝6，
故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
10．（3分）如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（　　）

A．16 B．14 C．8 D．7
【答案】B
【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG计算即可；
【解答】解：如图，取BC中点H，连接EC交AD于N．

∵BC＝2AB，BH＝CH，
∴BA＝BH＝CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA＝HB＝HC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，
∵BC＝2AB＝3，
∴CD＝4，CN＝EN＝2，
∴EC＝4，EM＝5，
∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG
＝×8×4+﹣S平行四边形ABCD
＝16+2
＝14
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．（3分）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【答案】等腰三角形．
【分析】依据题意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再进行适当变形得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，结合三角形两边之和大于第三边，有a+b＞c，从而可以得解．
【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝4．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵在△ABC中，a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝7，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
12．（3分）若关于x的不等式x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 　2　．

【答案】2．
【分析】先用a表示出x的取值范围，再根据数轴上x的取值范围求出a的值即可．
【解答】解：∵x﹣a≤﹣3，
∴x≤﹣3+a，
∵x≤﹣4，
∴﹣3+a＝﹣1，解得a＝4．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示的不等式的解集得出关于a的一元一次方程是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，交AC于点E，若BC＝BD，BC＝8cm，AB＝10cm　8cm　．

【答案】8cm．
【分析】连接BE，利用HL证明Rt△BCE与Rt△BDE全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接BE，

∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴DE＝CE，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，
∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣6＝8（cm），
故答案为：8cm．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL得出Rt△BCE与Rt△BDE全等解答．
14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　2　
【答案】2．
【分析】先确定该方程的增根是x＝3，再将该方程化为整式方程后将增根x＝3代入进行求解．
【解答】解：解x﹣3＝0，
得x＝5，
即x＝3是该方程的增根，
两边同时乘以x﹣3，
得x﹣5＝5（x﹣3）+m，
将x＝5代入，
得3﹣1＝3（3﹣3）+m，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能准确理解增根产生的原因，并进行正确地求解．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2）（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 　4　个．

【答案】4．
【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，与y轴有2个交点；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧；这两个交点中有一个是与A重合的，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有3个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+4＝4（个），
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，经过点B（﹣4，0），则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为　﹣4＜x＜﹣　．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据点A、B的坐标写出x的取值范围即可．
【解答】解：∵经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+3相交于点A（﹣，
∴不等式mx+6＜kx+b＜0的解集是﹣4＜x＜﹣．
故答案为：﹣4＜x＜﹣．
【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是关键．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　cm．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，BD＝BC＝12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB＝13，所以△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD，即可解答．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝CD＝12cm，
在Rt△ACB中，AB＝，
△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），
故答案为：42．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．
18．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，则四边形EFGH的周长是　11　．

【答案】见试题解答内容
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、CD，
∴EH＝FG＝ADBC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+7＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
三．解答题（满分66分）
19．（7分）分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）
【答案】见试题解答内容
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（m﹣2）﹣5y2（m﹣2）＝（m﹣4）（x2﹣9y4）＝（m﹣2）（x+3y）（x﹣6y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（7分）先化简．再求值：÷（﹣x+2），其中x＝﹣．
【答案】，．
【分析】根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（7分）解不等式或不等式组：
（1）．
（2）并写出该不等式组的最小整数解．
【答案】（1）x≤﹣1．（2）﹣2．
【分析】（1）去分母后解不等式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）两边同乘6得：4x﹣7﹣3（5x+3）≥6，
4x﹣5﹣15x﹣3≥6，
﹣11x≥11，
∴x≤﹣7．
（2）由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
由≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（7分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）∵△ABC≌△DCB，则∠ACB＝∠DBC，
在△OBC中，即∠OCB＝∠OBC
∴△OBC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　（﹣2，0）　

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，即可画出△A1B1C1；
（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）连接两对对应点，其交点即为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；
（2）如图，△A2B2C6即为所求；

（3）如图，点P的坐标是（﹣2．
故答案为：（﹣2，5）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换、平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题的关键．
24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，将△ABC绕点C旋转，使得点B落在AB边上点D处，连接AE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）求△AFE的面积．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）．
【分析】（1）证明AB∥CE，AB＝CE即可．
（2）如图，过点C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，过点A作AJ⊥EF于J．证明＝，求出CT，△ACE的面积，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵将△ABC绕点C旋转，使得点D落在AB边上，
∴AC＝CE＝AB，∠ACB＝∠DCE，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DCE，
∴AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形．

（2）如图，过点C作CT⊥AB于T，过点A作AJ⊥EF于J．

∵CB＝CD＝5，CT⊥BD，
∴BT＝DT，
设BT＝x，
∵CT2＝BC6﹣BT2＝AC2﹣AT4，
∴52﹣x7＝72﹣（6﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝2x＝，CT＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣＝，
∵S△ADE＝•AD•CT＝，
∴＝＝，
∵＝＝＝，
∵∠CDB＝∠CDE，CT⊥DB，
∴CT＝CK，
∴＝＝，
∴AF＝AC，
∴S△AEF＝S△AEC＝××5×＝．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是求出AF：CF的值．
25．（7分）二月樱花开，四月樱桃红，随着樱桃成熟上市，另花费1000元购进红灯樱桃，黄蜜樱桃的进价是红灯樱桃的进价的2倍
（1）求红灯樱桃每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出红灯樱桃3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，购进的红灯樱桃剩余部分全部售罄、若购进的红灯樱桃总利润不低于770元，求m的最小值．
【答案】（1）20元；
（2）5．
【分析】（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克，列分式方程，求解即可；
（2）根据购进的红灯樱桃总利润不低于770元，列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的根，
答：红灯樱桃每千克的进价为20元；
（2）1000÷20＝50（千克），
根据题意，得（40﹣20）•3m+20（40﹣3.5m﹣20）+（40×0.7﹣20）（50﹣3m﹣20）≥770，
解得m≥5，
答：m的最小值为8．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
26．（7分）已知：点D是△ABC边BC所在直线上的一个动点（点D与点B，C不重合），∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D绕点A顺时针转90°得到点E，连接BE，DE．

（1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，请你判断线段BE与线段CD之间的关系
（2）如图2，当点D在线段BC上，且BD＝2CD时
（3）点D绕点A逆时针转90°得到点F，连接CF，AF，当∠EAB＝15°时，直接写出线段CF的长．
【答案】（1）BE＝CD，证明见解答；
（2）S四边形AEBC＝；
（3）线段CF的长为+或+．
【分析】（1）由旋转可得：AE＝AD，∠DAE＝90°，再根据等式性质可得∠BAE＝∠CAD，进而证得△ABE≌△ACD（SAS），即可得出结论；
（2）方法一：如图2，过点A作AH⊥BC于点H，可求得S△ACD＝CD•AH＝××＝，由旋转可得出△ABE≌△ACD（SAS），故S△ABE＝S△ACD＝，再求得S△ABC＝2，即可得出答案；方法二：根据题意可得S△ABC＝2，根据BD＝2CD，可推出：＝＝＝，即可求得答案；
（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，如图3，过点A作AG⊥BC于点G，由等腰直角三角形性质可得：AG＝BG＝CG＝，∠CAG＝∠BAG＝45°，根据∠EAB＝15°，可得出∠DAG＝30°，再运用三角函数定义求得DG＝AG•tan∠DAG＝•tan30°＝，进而求得BD＝+，利用旋转性质可证得△ACF≌△ABD（SAS），即可得出答案；②当点D在线段BC的延长线上时，如图4，过点A作AG⊥BC于点G，根据旋转和解直角三角形可求得：DG＝•tan60°＝，BD＝BG+DG＝+，再由△ACF≌△ABD（SAS），即可求得答案．
【解答】解：（1）BE＝CD，BE⊥CD.
证明：如图1，∵点D绕点A顺时针转90°得到点E，
∴AE＝AD，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAB＝∠DAB+∠BAC，
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴BE⊥CD．
（2）方法一：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BC＝＝＝7，
∵AH⊥BC，
∴BH＝CH＝AH＝，
∵BD＝2CD，
∴CD＝BC＝，
∴S△ACD＝CD•AH＝××＝，
由旋转得：AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴S△ABE＝S△ACD＝，
∵S△ABC＝AB•AC＝，
∴S四边形AEBC＝S△ABE+S△ABC＝+6＝；
方法二：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，
∴S△ABC＝AB•AC＝，
∵BD＝2CD，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴S△ACD＝S△ABC＝，
由旋转得：AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴S△ABE＝S△ACD＝，
∴S四边形AEBC＝S△ABE+S△ABC＝+2＝；
（3）①当点D在线段CB上时，如图3，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴AG＝BG＝CG＝，∠CAG＝∠BAG＝45°，
∵∠EAB＝15°，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAG＝90°﹣15°﹣45°＝30°，
∴DG＝AG•tan∠DAG＝•tan30°＝，
∴BD＝BG+DG＝+，
∵点D绕点A逆时针转90°得到点F，
∴∠DAF＝90°，AF＝AD，
∵∠CAF+∠CAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAD，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD＝+；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图4，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴AG＝BG＝CG＝，∠CAG＝∠BAG＝45°，
∵∠EAB＝15°，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAG＝90°+15°﹣45°＝60°，
∴DG＝AG•tan∠DAG＝•tan60°＝，
∴BD＝BG+DG＝+，
∵点D绕点A逆时针转90°得到点F，
∴∠DAF＝90°，AF＝AD，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAF+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠CAF＝∠BAD，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD＝+；
综上所述，线段CF的长为+或+．




【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角函数定义、旋转变换的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，运用分类讨论思想，属于中考常考题型．
27．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为．

（1）填空：点C的坐标为　（4，4）　；平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为 　（9，2）　；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形
【答案】（1）（4，4），（9，2）；
（2）t＝4或t＝0时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半；
（3）（18，0）或（﹣10，0）或（18，8）或（18，4）或（﹣10，4）或（10，﹣4）．
【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
（2）S△PQC＝S▱ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S▱OABC，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
（3）根据（2）中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC＝14，
∵点A的坐标为（14，0），4），
∴点C的坐标为（4，4），平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为（9，2）．
故答案为：（4，4），（9，2）；
（2）根据题意得：S△PQC＝S▱OABC﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S▱OABC，
∴×14×4＝+（14﹣t）××14×（5﹣，
化简得：t2﹣8t＝0，
解得：t＝2，
即当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
t＝0秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．
综上所述，t＝4或t＝0时．
（3）①t＝4时，由（2）知，画出图形如下所示，

根据平行四边形的性质，可知点M5的坐标为M1（18，0），M4（﹣10，0），M3（18，7）．
t＝0时，同法可得：M（18，6，4）或（10）．
综上所述，点M的坐标为（18，0）或（18，8，4）或（﹣10，4，﹣6）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键