2022-2023学年江苏省常州市某学校高二（下）学情调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市某学校高二（下）学情调研数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若向量，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知，，，若，，共面，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

6.  直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知正方体，，，分别是，，的中点，则(    )

A. 直线与直线相交
B. 直线平面
C. 直线与平面相交
D. 直线平面

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  空间中三点，，，是坐标原点，则(    )

A.
B.
C. 点关于平面对称的点为
D. 与夹角的余弦值是

10.  下列结论正确的是(    )

A. 若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 若，，，则点在平面内
D. 若向量垂直于向量和，向量且，，则

11.  布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体如图中每个正方体的棱长为，则(    )

 

A.
B.
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的正切值为

12.  在棱长为的正方体中，点满足，，，则(    )

A. 当时，有且仅有一点满足
B. 若与平面所成角的大小为，则的最大值为
C. 当时，满足到直线的距离与到平面的距离相等的点有两个
D. E、分别为，的中点，若存在，，使成立，则点的轨迹长度为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为______．

14.  已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为______ ．

15.  如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，，分别为，的中点．设异面直线与所成的角为，则 的最大值为________．
 

16.  空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为______ ，直线与平面所成角的正弦值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱且，，点为中点，设，，；
用向量，，的线性组合表示向量；
求的长．

18.  本小题分
已知，，．
求与轴正方向的夹角的余弦值；
已知点在直线上，求的值；
若与分别是平面与平面的法向量且，求的值．

19.  本小题分
如图，正方体的棱长为，点为的中点．
求点到平面的距离为；
求到平面的距离．

20.  本小题分
直三棱柱中，，，为中点，为中点，为中点．
求证：平面；
求直线与平面夹角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．

21.  本小题分
如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，为正三角形，平面平面．
求点到平面的距离；
在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

22.  本小题分
某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为，高为，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点为圆弧包括端点上的动点．
若平面时，求点与的最短距离．
若，当点在圆弧包括端点上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以，即，
即，解得，
所以．
故选：．
根据向量共线建立坐标之间的等式关系，求出，进而求即可．
本题主要考查共线向量的性质，考查模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据时，，分别判断、、、是否满足条件即可．
本题考查了向量语言表述线面的垂直和平行关系的应用问题，是基础题．
【解答】
解：若，则，
而中，不满足条件；
中，不满足条件；
中，不满足条件；
中，满足条件．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：点关于平面的对称点为，
而关于轴的对称点为，
，，
，
则．
故选：．
利用对称性分别求出，，由此能求出结果．
本题考查两点间距离的求法，考查对称点，向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，
令与共线，则，即，
即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且．
故选：．
令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可．
本题考查空间向量坐标运算法则、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，，，
若，，共面，则，
即，
所以，
解得，．
故选：．
由空间向量的共面定理列方程组求出的值．
本题考查了空间向量的共面定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，又，
在方向上的投影，
点到直线的距离为．
故选：．
利用向量投影和勾股定理即可计算．
本题主要考查向量投影，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，

，
，
故．
故选：．
根据空间向量基本定理求解即可．
本题主要考查空间向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：建立如下图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为，

则，，，，，，，，
所以
对设与的公垂向量为，则，
可取，又，
所以直线与直线的距离，故A不正确；
对，设平面的法向量为，则
，从而可取，
所以，因此直线与平面不平行，故B不正确；
对，，故直线与平面相交，所以C正确；
对，，与不共线，故直线与平面不垂直，故D不正确．
故选：．
通过建立空间直角坐标，求空间直线的距离以及空间直线与平面的关系，从而能每一个选项进行判断．
本题考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
则，．，
故，故A正确；
，
故，故B正确；
点关于平面对称的点为，故C错误；
，故D错误．
故选：．
根据向量的模判断，由向量的数量积判断，根据点关于面的对称判断，由向量夹角的余弦公式判断．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量的数量积公式，向量垂直的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，若向量是空间一组基底，
则构成的向量均不共面，
所以也是空间的一组基底，故A正确；
对于，直线的方向向量，平面的法向量是，所以，故，故B错误；
对于，设，
可得，解得，即，则点在平面内，故C正确；
对于，若向量垂直于向量和，向量且，，
所以向量一定在向量和组成的平面内，则，故D错误．
故选：．
根据空间向量基底定义可判断；根据向量共线可判断；设，求出，可得判断；根据向量共面可判断．
本题主要考查了空间向量基本定理，考查了空间向量的线性运算，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，选项B正确；
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，选项A错误；
设，则点到直线的距离，选项C正确；
，，
，选项D正确．
故选：．
利用向量的线性运算求出，所以选项B正确；以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选项ACD的几何量判断即得解．
本题考查向量的线性运算，坐标法的应用，点到直线的距离的求解，线线角的求解，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：建系如图，则根据题意可得：

，，，，
，，，，
，，，
，，
，．
对选项A：当时，，，，
，
，满足条件的点有无数个，故A选项错误；
对选项B：平面，
为平面的一个法向量，
又，又与平面所成角的大小为，
，，
化简得，又，，
令，，，
，其中，，，
当时，取得最大值，即的最大值为，故B正确；
对选项C：当时，，则，
，，，
在上的投影为，
则点到直线的距离，
平面的一个法向量为，又，
点到平面的距离为，
当点到直线的距离与到平面的距离相等时，，
即，又，方程有一个解，
，即仅存在一个点满足条件，故C错误；
选项：、分别为，的中点，
又，，，
，
，
，
又，
，，
又，，设，
点的轨迹为平面中的线段，
且其长度为，故D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解．
本题考查立体几何的综合应用，向量法求解线线垂直问题，向量法求解线面角问题，向量法求解点面距问题，轨迹长度问题，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
即，
因为点，，，四点共面，所以，
所以，
故答案为：．
把已知关系式化为，然后根据因为点，，，四点共面，所以，即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，，得，
，
设点到平面的距离为，
则．
故答案为：．
利用向量求法可得点到平面的距离．
本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题．

【解答】

解：根据已知条件，，，三直线两两垂直，
分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

如图所示建系，设，则，．
设，则，
故
，
令，，
则，当且仅当取等号，
故
，
当时，取到最大值．

16.【答案】  

【解析】解：平面的方程为，
平面的法向量可取，
又平面的法向量为，
平面的法向量为，
直线是两个平面与的交线，
设两平面与的交线的方向向量为，
由，令，则，，则，
令直线与平面所成角的平面角为，
则．
故答案为：；．
先求出三个平面的法向量，设两平面的交线的方向向量为，并求出其坐标，即得直线与平面所成角的正弦值．
本题考查平面的法向量、直线与平面所在角及其正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：连接如图所示：

，
，
；
因为平行六面体，，
，且底面是边长为的正方形，
所以，，，，，
由知
，． 

【解析】根据空间向量基本定理及向量共线定理将转化为，，即可；
根据中的结果，两边同时平方，根据向量数量积定义及模的公式计算结果即可．
本题考查了向量的数量积运算，考查向量的线性运算，考查向量的模的计算，属中档题．
 

18.【答案】解：，设为坐标原点，在轴正半轴取点，则，
，
与轴正方向的夹角的余弦值为；
，，
点在直线上，存在，使，即，
，解得，，
；
根据题意，，
，解得． 

【解析】可求出，可设为坐标原点，在轴正半轴取点，然后求出即可；
可得出，从而得出，进而可求出，的值，从而求出的值；
根据题意得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．
本题考查了向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量垂直的充要条件，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：以，，所在的直线分别为，，轴，建系如图，

则，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，又 ，
点到平面的距离．
由可得平面的法向量为，
，，
，
，
，又平面，
平面，
到平面的距离可以转化为点到平面的距离，
由，
所以到平面的距离为． 

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可；
利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可．
本题考查点面距的求解，线面距的求解，向量法的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面，且，则，
以A、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、
、、、、，
，易知平面的一个法向量为，
，故，平面，故EF平面；
由知，，，
设平面的法向量为，
则，取，
，
直线与平面夹角的正弦值为；
由知，，
设平面的法向量为，
则，取，
，
平面与平面夹角的余弦值为． 

【解析】以点为坐标原点，A、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；
利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值．
本题考查向量法证明线面平行，向量法求解线面角问题，向量法求解面面角问题，属中档题．
 

21.【答案】解：连接，是正三角形，又为中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，，，
，，分别为，的中点，
，，，
如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

，则，，，，，，
设平面的法向量，
，，
则，取，得，
，
点到平面的距离．
由知是平面的一个法向量，
由题可设，且，则，
，
设平面的法向量为，
，
，取，则，
平面和平面夹角的余弦值为，
，
解得或，
存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为的中点． 

【解析】根据线面关系证得，，，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
求出平面，平面的法向量，利用向量法能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：如图，以为原点，以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，，，，
平面，
，，
点在圆弧包括端点上移动，
则，，
，
，
即，当且仅当时等号成立，
，
点与的最短距离为．
若，由可得，，，
设动点，
，，，即，，
令，则，由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取极大值也是最大值，，当或时，，
，
又，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角，
则，，
，
，
，
二面角的正切值的取值范围为 

【解析】以为原点，以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，写出各点坐标，由平面，可得，进而得到，则，可得，进而结合，即可求解；
由题意可设动点，可得，，，利用基本不等式得出，利用空间向量的坐标运算可得平面的法向量，且平面的一个法向量，结合二面角的特点，表示出二面角的正切值，即可得出结论．
本题考查棱柱的结构特征和线面垂直的判定定理、向量垂直的性质以及利用空间向量法求二面角，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．